Методы расчета устойчивости энергосистем. Хрущев Ю.В. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

42
МЕТОДЫ РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ ЭНЕРГОСИCТЕМ
чае выполняются условия теоремы существования и единствен
ности, то есть для любых начальных значений t
0
, x
10
, …, x
n0
су
ществует и притом единственное решение
(, ) ,
0
1
iii
x
tx i n= η =
, (3.3)
удовлетворяющее начальным условиям
(, ) ,
00 0
1
ii i
tx x i nη = =
. (3.4)
Потребуем бесконечной продолжаемости решения (3.3), то
есть будем считать функции η
i
(t) определенными для t
0
≤ t < ∞,
причем t
0
можем считать равным –∞.
Рассмотрим некоторое решение системы (3.2) x
i
= η
i
(t),
,1in=
, определенное на интервале [t
0
, ∞), причем η
i
(t
0
) = x
i0
,
,1in=
.
Введем важные определения [6].
Решение η
i
(t),
,1in=
называется устойчивым по Ляпунову при
t→∞, если для любого ε> 0 существует такое δ > 0, зависящее от
ε и t
0
, что любое решение x
i
= ϕ
i
(t), для которого при t = t
0
выпол#
няется неравенство |ϕ
i
(t
0
)–η
i
(t
0
)| < δ, удовлетворяет неравен#
ству |ϕ
i
(t)–η
i
(t)| < ε при t
0
≤ t < ∞ для всех
,1in=
.
Из этого определения следует, что вместе с основным ре
шением η
i
(t), рассматривается некоторое дополнительное реше
ние ϕ
i
(t), отражающее возмущения и достаточно близкое к ос
новному в начальной точке. По отклонению дополнительного ре
шения от основного при возрастании независимой переменной t
и проводится суждение об устойчивости решения согласно опре
делению.
Для геометрической интерпретации определения устойчи
вости по Ляпунову рассмотрим трехмерный фрагмент (сече
ние) рассматриваемого (n+1)мерного пространства с коорди
натами t, x
1
, x
n
. В трехмерном сечении, как и в (n+1)мерном
пространстве совокупности зависимых переменных (коорди
нат пространства), представляющих основное и дополнитель
ное решения, изображаются в виде интегральных кривых η(t)
и ϕ(t) (рис. 3.1). При этом кривая η(t) начинается в точке (t
0
,
x
10
, x
n0
), а кривая ϕ(t) в δокрестности этой точки.
Геометрически устойчивость системы (3.1) означает, что все
,
,
,

Страницы