ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5
V
h
d
3
=
τ
. (2)
Каждой такой ячейке соответствует отдельное квантовое со-
стояние, отличимое от других состояний. Таким образом, метод де-
ления фазового пространства на элементарные ячейки составляет
одну из особенностей квантовой статистики.
Рассмотрим кусок металла объемом V, в котором находится N
свободных электронов, образующих электронный газ. В простран-
стве импульсов каждой ячейке с объемом
h
3
/V соответствует опре-
деленное квантовое состояние с энергией
ε
. Функция распределе-
ния, которую предстоит найти, должна выражать вероятность за-
полнения этих ячеек электронами.
Получим искомое распределение, пользуясь методами стати-
стической механики. Основной принцип здесь состоит в следую-
щем. Если равновесная система может находиться в одном из N со-
стояний, то вероятность того, что она находится в состоянии n с
энергией
ε
n
равна:
,
1
),(
kT
n
n
e
Q
nP
ε
ε
−
∝
(3)
где
∑
=
−
=
N
n
kT
n
eQ
1
ε
.
Здесь k – постоянная Больцмана; T – температура, Q – статистиче-
ская сумма.
Если i соответствует состоянию с энергией
ε
i
, а A – кванто-
вомеханический оператор наблюдаемой физической величины, то
среднее значение этой величины равно:
kT
n
eiAi
Q
A
ε
−
><>=< ||
1
.
Таким образом, состояние системы определяется указанием
числа частиц n с энергией
ε
. При этом возможны следующие значе-
6
ния чисел n = 0,1. То есть в случае Ферми-частиц в каждом состоя-
нии может находиться не более одной частицы. Учитывая это, не
трудно получить выражение для функции распределения Ферми –
Дирака, основываясь на формуле (3), переписав ее в виде:
(
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
∝
kT
nP
n
εµ
ε
exp),( . (4)
Здесь
µ
– химический потенциал.
Распределение Ферми – Дирака f(
ε
) можно рассматривать как
вероятность того, что одночастичное состояние с энергией
ε
являет-
ся занятым, когда система частиц, для которой указанное состояние
– одно из возможных – находится в тепловом равновесии при тем-
пературе T. Остается применить выражение (4) к случаю состояния,
в котором может находиться не более одного электрона.
Когда состояние не занято, будем считать энергию равной ну-
лю, отсюда следует, что P(0,0) = 1.
Когда
состояние занято электроном, то
∝
),1(
ε
P
(
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
kT
εµ
exp .
Следовательно, вероятность того, что данное состояние заня-
то, можно записать в виде:
1exp
1
),1()0,0(
),1(
)(
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
+
=
kT
PP
P
f
µε
ε
ε
ε
. (5)
Это и есть функция Ферми – Дирака.
Здесь
µ
– химический потенциал, отнесенный к отдельной
частице и равный:
N
PVTSU
+
−
=
µ
,
где U – внутренняя энергия системы; S – энтропия; V – объем сис-
темы; P – давление электронного газа; N – полное число электронов
в системе.
h3 ния чисел n = 0,1. То есть в случае Ферми-частиц в каждом состоя-
dτ = . (2) нии может находиться не более одной частицы. Учитывая это, не
V трудно получить выражение для функции распределения Ферми –
Каждой такой ячейке соответствует отдельное квантовое со- Дирака, основываясь на формуле (3), переписав ее в виде:
стояние, отличимое от других состояний. Таким образом, метод де- ⎡ (µ − ε n )⎤
ления фазового пространства на элементарные ячейки составляет P (n, ε ) ∝ exp ⎢ . (4)
одну из особенностей квантовой статистики. ⎣ kT ⎥⎦
Рассмотрим кусок металла объемом V, в котором находится N Здесь µ – химический потенциал.
свободных электронов, образующих электронный газ. В простран- Распределение Ферми – Дирака f(ε) можно рассматривать как
стве импульсов каждой ячейке с объемом h3/V соответствует опре- вероятность того, что одночастичное состояние с энергией ε являет-
деленное квантовое состояние с энергией ε. Функция распределе- ся занятым, когда система частиц, для которой указанное состояние
ния, которую предстоит найти, должна выражать вероятность за- – одно из возможных – находится в тепловом равновесии при тем-
полнения этих ячеек электронами. пературе T. Остается применить выражение (4) к случаю состояния,
Получим искомое распределение, пользуясь методами стати- в котором может находиться не более одного электрона.
стической механики. Основной принцип здесь состоит в следую- Когда состояние не занято, будем считать энергию равной ну-
щем. Если равновесная система может находиться в одном из N со- лю, отсюда следует, что P(0,0) = 1.
стояний, то вероятность того, что она находится в состоянии n с Когда состояние занято электроном, то
энергией εn равна:
⎡ (µ − ε ) ⎤
P(1, ε ) ∝ exp ⎢ .
P ( n, ε n ) ∝
1 −ε n
e kT
, (3) ⎣ kT ⎥⎦
Q Следовательно, вероятность того, что данное состояние заня-
где то, можно записать в виде:
N
P(1, ε ) 1
Q = ∑ e −ε n kT
. f (ε ) = = . (5)
n =1 P(0,0) + P (1, ε ) ⎛ε −µ ⎞
Здесь k – постоянная Больцмана; T – температура, Q – статистиче-
exp⎜ ⎟ +1
⎝ kT ⎠
ская сумма.
Если i соответствует состоянию с энергией εi, а A – кванто- Это и есть функция Ферми – Дирака.
вомеханический оператор наблюдаемой физической величины, то Здесь µ – химический потенциал, отнесенный к отдельной
среднее значение этой величины равно: частице и равный:
1 U − TS + PV
< A >= < i | A | i > e −ε n kT
. µ= ,
Q N
где U – внутренняя энергия системы; S – энтропия; V – объем сис-
Таким образом, состояние системы определяется указанием темы; P – давление электронного газа; N – полное число электронов
числа частиц n с энергией ε. При этом возможны следующие значе- в системе.
5 6
