ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7
Химический потенциал может быть измерен работой, кото-
рую нужно совершить, чтобы увеличить число частиц в системе на
единицу. Величина
µ
является функцией температуры; в каждой
конкретной задаче
µ
определяется из условия постоянства полного
числа электронов в системе, т. е. из условия, что число электронов
равно N. При абсолютном нуле
µ
равно энергии Ферми
ε
F
. При лю-
бой температуре T > 0 и при условии
ε
=
µ
функция f(
ε
)=1/2. Отсюда
энергию Ферми можно определить как энергию наиболее высокого,
занятого электронами состояния при абсолютном нуле.
Область функции распределения, соответствующая большим
значениям энергии, когда отвечает
ε
–
µ
>>kT большим значениям
экспоненты в знаменателе (5); тогда единицей в знаменателе можно
пренебречь и приближенно положить.
f(
ε
)=
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
kT
εµ
exp .
Эта функция близка к классической функции распределения Больц-
мана.
Функция распределения позволяет рассчитать число электро-
нов, импульс (энергия) которых лежит в интервале p, p+dp (
ε
,
ε
+ d
ε
).
Перейдем к распределению по фазовому пространству частицы. При
этом надо иметь в виду, что при данном значении импульса состоя-
ние частицы определяется также направлением ее спина. Поэтому
число частиц в элементе фазового пространства dp
x
dp
y
dp
z
dV равно:
3( )/
(2 1)
[1]
xyz
kT
SdpdpdpdV
dn
he
em-
+
=
+
, (6)
где S – спин частицы.
Интегрируя по dV, получим распределение по компонентам
импульса частиц, а переходя к сферическим координатам в про-
странстве импульсов и интегрируя по углам, найдем распределение
по абсолютной величине импульса
2
23 ( )/
[1]
p
kT
Vp dp
dn
e
em
p
-
=
+h
, (7)
8
где
ε
=p
2
/2m, или распределение по энергии
3
2
23 ( )/
2
[1]
kT
mV
dn
e
e
em
p
-
=
+h
. (8)
Теперь нетрудно определить число электронов (термоэлек-
тронов), выходящих под действием теплового возбуждения в еди-
ницу времени из поверхности металла. Проходить через поверх-
ность металла могут только такие электроны, у которых нормальная
к стенке составляющая скорости v
x
больше некоторой величины v
0x
,
удовлетворяющая неравенству.
kT
mv
>>− )0(
2
2
µ
. (9)
Иначе говоря, энергия вылетающих электронов отличаются от
граничной энергии гораздо больше, чем на kT.
Будем рассматривать металл как потенциальный ящик конеч-
ной глубины mv
2
0x
/2. Так как тангенциальная составляющая скоро-
сти сохраняется при пересечении поверхности, то работа выхода со
дна ящика равна mv
2
0x
/2. С границы Ферми работа выхода равна
mv
2
0x
/2 –
µ
. При нулевой температуре всегда имеются электроны с
ε
> mv
2
0x
/2; они в основном и выходят из металла.
Число электронов со скоростью v
x
, падающих в секунду на
квадратный сантиметр поверхности, равно v
x
dn(v
x
), где dn(v
x
) –
плотность электронов, имеющих данное значение скорости v
x
. За-
пишем для плотности электронов, у которых составляющие скоро-
сти заключены в данном интервале аналогично (6):
()
1
/)(
3
1
2
),,(
−
−−
+=
kT
zyx
zyx
e
h
dvdvmdv
vvvdn
µε
, (10)
где
)(
2
222
zyx
vvv
m
++=
ε
. Через поверхность металла проходят толь-
ко те электроны, для которых выполняется
ε
–
µ
>> kT. Поэтому
можно перейти от распределения Ферми к распределению Больцма-
на с тем же значением
µ
, как в распределении Ферми. Отсюда иско-
Химический потенциал может быть измерен работой, кото- где ε=p2/2m, или распределение по энергии
рую нужно совершить, чтобы увеличить число частиц в системе на 3
единицу. Величина µ является функцией температуры; в каждой dne =
m 2V
2 2 3 ( e- m) / kT . (8)
конкретной задаче µ определяется из условия постоянства полного p h [e + 1]
числа электронов в системе, т. е. из условия, что число электронов
равно N. При абсолютном нуле µ равно энергии Ферми εF. При лю- Теперь нетрудно определить число электронов (термоэлек-
тронов), выходящих под действием теплового возбуждения в еди-
бой температуре T > 0 и при условии ε=µ функция f(ε)=1/2. Отсюда
ницу времени из поверхности металла. Проходить через поверх-
энергию Ферми можно определить как энергию наиболее высокого,
ность металла могут только такие электроны, у которых нормальная
занятого электронами состояния при абсолютном нуле.
к стенке составляющая скорости vx больше некоторой величины v0x,
Область функции распределения, соответствующая большим
удовлетворяющая неравенству.
значениям энергии, когда отвечает ε – µ >>kT большим значениям
экспоненты в знаменателе (5); тогда единицей в знаменателе можно mv 2
пренебречь и приближенно положить. − µ (0) >> kT . (9)
2
f(ε)= exp ⎡⎢
(µ − ε ) ⎤ . Иначе говоря, энергия вылетающих электронов отличаются от
⎣ kT ⎥⎦ граничной энергии гораздо больше, чем на kT.
Будем рассматривать металл как потенциальный ящик конеч-
Эта функция близка к классической функции распределения Больц- ной глубины mv20x/2. Так как тангенциальная составляющая скоро-
мана. сти сохраняется при пересечении поверхности, то работа выхода со
Функция распределения позволяет рассчитать число электро- дна ящика равна mv20x/2. С границы Ферми работа выхода равна
нов, импульс (энергия) которых лежит в интервале p, p+dp (ε, ε + dε). mv20x/2 – µ. При нулевой температуре всегда имеются электроны с
Перейдем к распределению по фазовому пространству частицы. При
ε > mv20x/2; они в основном и выходят из металла.
этом надо иметь в виду, что при данном значении импульса состоя-
Число электронов со скоростью vx, падающих в секунду на
ние частицы определяется также направлением ее спина. Поэтому
квадратный сантиметр поверхности, равно vxdn(vx), где dn(vx) –
число частиц в элементе фазового пространства dpx dpy dpz dV равно:
плотность электронов, имеющих данное значение скорости vx. За-
(2 S + 1)dpx dp y dpz dV пишем для плотности электронов, у которых составляющие скоро-
dn = , (6) сти заключены в данном интервале аналогично (6):
h3 [e( e- m) / kT + 1]
2mdv x dv y dv z
где S – спин частицы.
Интегрируя по dV, получим распределение по компонентам
dn(v x , v y , v z ) =
h 3
(e −(ε − µ ) / kT
)−1
+1 , (10)
импульса частиц, а переходя к сферическим координатам в про-
m 2
странстве импульсов и интегрируя по углам, найдем распределение где ε = (v x + v y2 + v z2 ) . Через поверхность металла проходят толь-
по абсолютной величине импульса 2
ко те электроны, для которых выполняется ε – µ >> kT. Поэтому
Vp 2 dp
dn p = , (7) можно перейти от распределения Ферми к распределению Больцма-
p 2h 3 [e( e- m) / kT + 1] на с тем же значением µ, как в распределении Ферми. Отсюда иско-
7 8
