Алгебра. Комплексные числа, алгебраические структуры. Илларионова О.Г - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

éÚ ÐÒÁ×ÉÌÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ ÆÏÒÍÕÌÁ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ × ÓÔÅÐÅÎØ
z
n
= |z|
n
(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ íÕÁ×ÒÁ. ïÐÅÒÁÃÉÑ ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ ËÏÒÎÑ
ÓÔÅÐÅÎÉ n ÉÚ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÏÂÒÁÔÎÁÑ Ë ÏÐÅÒÁÃÉÉ
×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ × ÓÔÅÐÅÎØ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ
ÓÔÅÐÅÎÉ n ÉÚ ÞÉÓÌÁ w É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
n
√
w = z, ÅÓÌÉ z
n
= w. ëÏÒÅÎØ n-Ê
ÓÔÅÐÅÎÉ ÉÚ ÞÉÓÌÁ w(w 6= 0) ÉÍÅÅÔ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ
ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
z =
n
√
w =
n
p
|w|
cos
arg w + 2πk
n
+ i sin
arg w + 2πk
n

,
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1,
ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ
n
p
|w| ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÏ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÒÎÑ ÉÚ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØ-
ÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ.
ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ
4
p
−8 − i8
√
3.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉ-
ÓÌÁ −8 − i8
√
3, ÎÁÊÄÅÎÎÏÊ × ÐÒÉÍÅÒÅ 5:
4
q
−8 − i8
√
3 =
4
s
16
cos
−
2
3
π + 2πk
+ i sin
−
2
3
π + 2πk

=
= 2
cos
−
2
3
π + 2πk
4
+ i sin
−
2
3
π + 2πk
4
(k = 0, 1, 2, 3).
ðÏÌÏÖÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ k = 0, 1, 2, 3. âÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ:
z
1
= 2
cos
−
π
6
+ i sin
−
π
6

=
√
3 − i,
z
2
= 2
cos
π
3
+ i sin
π
3

= 1 + i
√
3,
z
3
= 2
cos
5π
6
+ i sin
5π
6

= −
√
3 + i,
z
4
= 2
cos
4π
3
+ i sin
4π
3

= −1 − i
√
3.
11
   éÚ ÐÒÁ×ÉÌÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ ÆÏÒÍÕÌÁ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ × ÓÔÅÐÅÎØ

                         z n = |z|n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)).

   üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ íÕÁ×ÒÁ. ïÐÅÒÁÃÉÑ ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ ËÏÒÎÑ
ÓÔÅÐÅÎÉ n ÉÚ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÏÂÒÁÔÎÁÑ Ë ÏÐÅÒÁÃÉÉ
×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ × ÓÔÅÐÅÎØ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ
                                        √     ÞÉÓÌÏ z ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ
ÓÔÅÐÅÎÉ n ÉÚ ÞÉÓÌÁ w É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ w = z, ÅÓÌÉ z n = w. ëÏÒÅÎØ n-Ê
                                        n


ÓÔÅÐÅÎÉ ÉÚ ÞÉÓÌÁ w(w 6= 0) ÉÍÅÅÔ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ
ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ

      √
                                                        
            p           arg w + 2πk             arg w + 2πk
  z = w = n |w| cos
      n
                                      + i sin                    ,
                              n                       n
                                                        k = 0, 1, 2, . . . , n − 1,
          p
ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ n |w| ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÏ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÒÎÑ ÉÚ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØ-
ÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ.                        p          √
   ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ −8 − i8 3.
                                    4


   òÅÛÅÎÉÅ. √ ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉ-
ÓÌÁ −8 − i8 3, ÎÁÊÄÅÎÎÏÊ × ÐÒÉÍÅÒÅ 5:
               s  
          √
 q                                                   
 4                        2                      2
   −8 − i8 3 = 4 16 cos − π + 2πk + i sin − π + 2πk        =
                          3                      3
                     2                     2
                                                
                    − π + 2πk             − π + 2πk
          = 2 cos  3
                                         3
                                + i sin              (k = 0, 1, 2, 3).
                                                 
                        4                      4
                                       


   ðÏÌÏÖÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ k = 0, 1, 2, 3. âÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ:

                           π                π  √
                  z1 = 2 cos −       + i sin −        = 3 − i,
                                  6               6
                           π               π         √
                    z2 = 2 cos       + i sin        = 1 + i 3,
                          3                3 
                               5π              5π        √
                 z3 = 2 cos         + i sin          = − 3 + i,
                                6               6
                                                             √
                                          
                              4π              4π
                z4 = 2 cos          + i sin          = −1 − i 3.
                               3               3

                                        11

Страницы