Алгебра. Комплексные числа, алгебраические структуры. Илларионова О.Г - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1.4. ðÏËÁÚÁÔÅÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
ïÐÒÅÄÅÌÉÍ e
iϕ
, ÇÄÅ i =
√
−1, ϕ ∈ R ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
e
iϕ
= cos ϕ + i sin ϕ
üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ üÊÌÅÒÁ. ôÏÇÄÁ ÌÀÂÏÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
z ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ
z = r · e
iϕ
,
ÇÄÅ r ¡ ÍÏÄÕÌØ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ z, ϕ ¡ ÁÒÇÕÍÅÎÔ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
z.
ðÒÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ É ÄÅÌÅÎÉÉ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ
ÅÝÅ ÓÏ ÛËÏÌÙ ÐÒÁ×ÉÌÁ:
e
a
· e
b
= e
a+b
,
e
a
e
b
= e
a−b
.
ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z
1
= r
1
e
iϕ
1
É z
2
= r
2
e
iϕ
2
ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ É
ÄÅÌÅÎÉÅ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:
z
1
· z
2
= r
1
r
2
e
i(ϕ
1
+ϕ
2
)
,
z
1
z
2
=
r
1
r
2
· e
i(ϕ
1
−ϕ
2
)
(÷ ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ r
2
6= 0)
ðÒÉÍÅÒ 7. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÞÉÓÌÏ z = (1 − i)
3
× ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÍÏÄÕÌØ É ÁÒÇÕÍÅÎÔ ÞÉÓÌÁ z = 1 − i:
|z| =
p
1
2
+ 1
2
=
√
2; arg z = arctg(−1) = −
π
4
.
÷ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ
z =
√
2e
−
π
4
i
, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, z
3
= 2
√
2e
−
3π
4
i
.
1.5. úÁÄÁÎÉÑ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
úÁÄÁÞÁ ½ 1. äÁÎÙ ÞÉÓÌÁ z
1
É z
2
. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ: Á) z
1
+ z
2
, Â) z
1
− z
2
,
×) z
1
· z
2
, Ç)
z
1
z
2
, Ä) z
1
, Å) Re
z
1
z
2
, Ö) Im
z
1
z
2
.
éÚÏÂÒÁÚÉÔØ z
1
, z
2
, z
1
+ z
2
,
z
1
z
2
.
1.1 z
1
= 2 + 3i, z
2
= 3 − 5i
12
1.4. ðÏËÁÚÁÔÅÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
                          √
   ïÐÒÅÄÅÌÉÍ eiϕ , ÇÄÅ i = −1, ϕ ∈ R ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
                              eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ üÊÌÅÒÁ. ôÏÇÄÁ ÌÀÂÏÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
z ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ
                                  z = r · eiϕ ,
ÇÄÅ r ¡ ÍÏÄÕÌØ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ z, ϕ ¡ ÁÒÇÕÍÅÎÔ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
z.
   ðÒÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ É ÄÅÌÅÎÉÉ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ
ÅÝÅ ÓÏ ÛËÏÌÙ ÐÒÁ×ÉÌÁ:

                                             ea
                        ea · eb = ea+b,        b
                                                 = ea−b .
                                             e
ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z1 = r1eiϕ1 É z2 = r2 eiϕ2 ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ É
ÄÅÌÅÎÉÅ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:
                                             z1    r1
                z1 · z2 = r1 r2ei(ϕ1 +ϕ2 ) ,     = · ei(ϕ1 −ϕ2 )
                                             z2    r2
(÷ ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ r2 6= 0)
   ðÒÉÍÅÒ 7. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÞÉÓÌÏ z = (1 − i)3 × ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ.
   òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÍÏÄÕÌØ É ÁÒÇÕÍÅÎÔ ÞÉÓÌÁ z = 1 − i:
                   p         √                                 π
              |z| = 12 + 12 = 2;          arg z = arctg(−1) = − .
                                                               4
÷ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ
                 √                                  √   3π
              z = 2e− 4 i ,   ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, z 3 = 2 2e− 4 i .
                      π




1.5. úÁÄÁÎÉÑ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

   úÁÄÁÞÁ ½ 1. äÁÎÙ ÞÉÓÌÁ z1 É z2 . ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ: Á) z1 + z2 ,         Â) z1 − z2 ,
                                     z1      z1
×) z1 · z2 , Ç) zz21 , Ä) z1 , Å) Re , Ö) Im .
                                     z2      z2
                                        z1
   éÚÏÂÒÁÚÉÔØ z1 , z2 , z1 + z2 ,          .
                                        z2
   1.1 z1 = 2 + 3i, z2 = 3 − 5i

                                       12

Страницы