Алгебра. Комплексные числа, алгебраические структуры. Илларионова О.Г - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

òÅÛÅÎÉÅ.
|z| =
p
x
2
+ y
2
=
q
(−8)
2
+ (−8
√
3)
2
= 16.
ôÁË ËÁË
x = −8 < 0, y = −8
√
3 < 0,
ÔÏ
ϕ = arctg
y
x
− π = arctg
√
3 − π = −
2
3
π.
ðÏÜÔÏÍÕ
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = 16(cos(−
2
3
π) + i sin(−
2
3
π)).
ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÕÄÏÂ-
ÎÏ ÕÍÎÏÖÁÔØ, ÄÅÌÉÔØ, ×ÏÚ×ÏÄÉÔØ × ÓÔÅÐÅÎØ É ÉÚ×ÌÅËÁÔØ ÉÚ ÎÉÈ ËÏÒÎÉ. èÏÔÑ
ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ É ÄÅÌÅÎÉÅ ÎÅÓÌÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ É ÄÌÑ ÞÉÓÅÌ × ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ
(ÓÍ. ÒÁÚÄ. 1 ), Á ÔÁËÖÅ ÎÅÓÌÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ
(2 + 3i)
2
= 4 + 12i + 9i
2
= 4 + 12i − 9 = −5 + 12i
ÉÌÉ
(1 −i)
3
= 1 −3i + 3i
2
−i
3
= 1 −3i + 3(−1) −i
2
· i = 1 −3i − 3 + i = −2 − 2i,
ÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ × ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, (2 + 2
√
3i)
30
ËÒÁÊÎÅ ÚÁ-
ÔÒÕÄÎÉÔÅÌØÎÏ.
ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ ÄÁÎÙ Ä×Á ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÌÁ, ÚÁÐÉÓÁÎÎÙÅ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉ-
ÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ
z
1
= r
1
(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
) , z
2
= r
2
(cos ϕ
2
+ i sin ϕ
2
).
õÍÎÏÖÉÍ ÉÈ: z = z
1
· z
2
= |z
1
| · |z
2
|(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
) · (cos ϕ
2
+ i sin ϕ
2
) = r
1
·
r
2
(cos ϕ
1
·cos ϕ
2
−sin ϕ
1
sin ϕ
2
)+i(cos ϕ
1
·sin ϕ
2
+sin ϕ
1
·cos ϕ
2
) = r
1
·r
2
(cos(ϕ
1
+
ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
+ ϕ
2
)), Ô.Å. ÐÒÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ Ä×ÕÈ ÞÉÓÅÌ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ
ÆÏÒÍÅ ÉÈ ÍÏÄÕÌÉ ÐÅÒÅÍÎÏÖÁÀÔÓÑ, Á ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔÓÑ.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
z =
z
1
z
2
=
r
1
r
2
(cos(ϕ
1
− ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
− ϕ
2
)),
ÔÏ ÅÓÔØ ÐÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ Ä×ÕÈ ÞÉÓÅÌ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ ÉÈ ÍÏÄÕÌÉ
ÄÅÌÑÔÓÑ, Á ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ ×ÙÞÉÔÁÀÔÓÑ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 1. åÓÌÉ ϕ
1
+ϕ
2
ÉÌÉ ϕ
1
−ϕ
2
ÐÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ ÂÏÌØÛÅ π,
ÔÏ ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ ÉÈ ÒÁ×ÎÙÍÉ Arg z. ÷ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ ÏÐÅÒÁÃÉÉ
ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ É ÄÅÌÅÎÉÑ ÐÒÉÏÂÒÅÔÁÀÔ ÎÁÇÌÑÄÎÙÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ¡
ÜÔÏ ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÅ ( ÓÖÁÔÉÅ ) ×ÅËÔÏÒÏ× É ÉÈ ÐÏ×ÏÒÏÔ ×ÏËÒÕÇ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ
ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ XOY.
10
     òÅÛÅÎÉÅ.
                        p          q           √
                   |z| = x2 + y 2 = (−8)2 + (−8 3)2 = 16.
ôÁË ËÁË                                            √
                         x = −8 < 0,         y = −8 3 < 0,
ÔÏ
                                 y            √         2
                     ϕ = arctg     − π = arctg 3 − π = − π.
                                 x                      3
ðÏÜÔÏÍÕ
                                                 2            2
              z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = 16(cos(− π) + i sin(− π)).
                                                 3            3

   ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÕÄÏÂ-
ÎÏ ÕÍÎÏÖÁÔØ, ÄÅÌÉÔØ, ×ÏÚ×ÏÄÉÔØ × ÓÔÅÐÅÎØ É ÉÚ×ÌÅËÁÔØ ÉÚ ÎÉÈ ËÏÒÎÉ. èÏÔÑ
ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ É ÄÅÌÅÎÉÅ ÎÅÓÌÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ É ÄÌÑ ÞÉÓÅÌ × ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ
(ÓÍ. ÒÁÚÄ. 1 ), Á ÔÁËÖÅ ÎÅÓÌÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ
                (2 + 3i)2 = 4 + 12i + 9i2 = 4 + 12i − 9 = −5 + 12i
ÉÌÉ
(1 − i)3 = 1 − 3i + 3i2 − i3 = 1 − 3i + 3(−1) − i2 · i = 1 − 3i − 3 + i = −2 − 2i,
                                                                √
ÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ × ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, (2 + 2 3i)30 ËÒÁÊÎÅ ÚÁ-
ÔÒÕÄÎÉÔÅÌØÎÏ.
   ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ ÄÁÎÙ Ä×Á ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÌÁ, ÚÁÐÉÓÁÎÎÙÅ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉ-
ÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ
             z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1) ,    z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2 ).
õÍÎÏÖÉÍ ÉÈ: z = z1 · z2 = |z1 | · |z2 |(cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) · (cos ϕ2 + i sin ϕ2) = r1 ·
r2(cos ϕ1 ·cos ϕ2 −sin ϕ1 sin ϕ2)+i(cos ϕ1 ·sin ϕ2 +sin ϕ1 ·cos ϕ2) = r1 ·r2 (cos(ϕ1 +
ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)), Ô.Å. ÐÒÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ Ä×ÕÈ ÞÉÓÅÌ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ
ÆÏÒÍÅ ÉÈ ÍÏÄÕÌÉ ÐÅÒÅÍÎÏÖÁÀÔÓÑ, Á ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔÓÑ.
   áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                        z1     r1
                   z=       = (cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)),
                        z2     r2
ÔÏ ÅÓÔØ ÐÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ Ä×ÕÈ ÞÉÓÅÌ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ ÉÈ ÍÏÄÕÌÉ
ÄÅÌÑÔÓÑ, Á ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ ×ÙÞÉÔÁÀÔÓÑ.
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ 1. åÓÌÉ ϕ1 +ϕ2 ÉÌÉ ϕ1 −ϕ2 ÐÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ ÂÏÌØÛÅ π,
ÔÏ ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ ÉÈ ÒÁ×ÎÙÍÉ Arg z. ÷ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ ÏÐÅÒÁÃÉÉ
ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ É ÄÅÌÅÎÉÑ ÐÒÉÏÂÒÅÔÁÀÔ ÎÁÇÌÑÄÎÙÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ¡
ÜÔÏ ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÅ ( ÓÖÁÔÉÅ ) ×ÅËÔÏÒÏ× É ÉÈ ÐÏ×ÏÒÏÔ ×ÏËÒÕÇ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ
ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ XOY.
                                         10

Страницы