Алгебра. Комплексные числа, алгебраические структуры. Илларионова О.Г - 8 стр.

ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ:
                       1)   | Im z| < 1, 0 < Re z < 1;
                       2)   |z − 1 − 2i| ≤ 2;
                       3)   1 < |z + 2 + i| < 3;
                       4)   |z − i| > 1.
   òÅÛÅÎÉÅ.
   1) ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ × ÔÏÞËÁÈ i, 1 + i, 1 − i, −i (ÓÔÏÒÏÎÙ
ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ);
   2) ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÏÍ 2 Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z = 1+2i (ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ×ËÌÀÞÁÅÔÓÑ);
   3) ËÏÌØÃÏ ÍÅÖÄÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ ÒÁÄÉÕÓÏ× 1 É 3 Ó ÏÂÝÉÍ ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ
z = −2 − i (ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ);
   4) ×ÓÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ÕÄÁÌÅÎ ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ 1 Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ
z = i ×ÍÅÓÔÅ Ó ÅÇÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ.

1.3. ôÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ

   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 8. íÏÄÕÌÅÍ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ     pÞÉÓÌÁ z = x + iy ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÄÌÉÎÁ ×ÅËÔÏÒÁ z É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ |z|: |z| = x2 + y 2 . |z| Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÊÓÔ×É-
ÔÅÌØÎÙÍ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, Ô.Å. |z| > 0. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï |z| = 0 ×ÙÐÏÌÎÑ-
ÅÔÓÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ x = 0 É y = 0 ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ.
   õÇÏÌ ϕ ÍÅÖÄÕ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÏÓÉ OX É ×ÅËÔÏÒÏÍ z ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏÍ z É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Arg z. ïÎ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎ ÎÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ,
Á Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ, ËÒÁÔÎÏÇÏ 2π. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÁÒÇÕÍÅÎ-
ÔÁ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ −π < ϕ 6 π, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ
ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ arg z:
                        Arg z = arg z + 2πk, k ∈ Z.
äÌÑ z = 0 ÐÏÎÑÔÉÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ.
  çÌÁ×ÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ:
                            arctg xy ,
                          
                                         ÅÓÌÉ x > 0,
                                   y
                          
                           arctg x + π, ÅÓÌÉ x < 0, y > 0,
                          
                          
              ϕ = arg z =   arctg xy − π, ÅÓÌÉ x < 0, y < 0,
                            π
                            2,            ÅÓÌÉ x = 0, y > 0,
                          
                          
                          
                               π
                          
                          −
                               2,         ÅÓÌÉ x = 0, y < 0.
   ðÏÌØÚÕÑÓØ ÜÔÉÍÉ ÐÏÎÑÔÉÑÍÉ, ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ÔÒÉ-
ÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ:
                       z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
                                        √
  ðÒÉÍÅÒ 5. úÁÐÉÓÁÔØ ÞÉÓÌÏ z = −8 − i8 3 × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ.
                                  9