Алгебра. Комплексные числа, алгебраические структуры. Илларионова О.Г - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4. óÕÍÍÏÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z
1
É z
2
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍ-
ÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
z
1
+ z
2
= (x
1
+ x
2
) + i(y
1
+ y
2
).
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 5. òÁÚÎÏÓÔØÀ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z
1
É z
2
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍ-
ÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
z
1
− z
2
= (x
1
− x
2
) + i(y
1
− y
2
).
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 6. ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z
1
É z
2
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
z
1
· z
2
= (x
1
x
2
− y
1
y
2
) + i(x
1
y
2
+ x
2
y
1
).
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 7. þÁÓÔÎÙÍ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z
1
É z
2
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍ-
ÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
z
1
z
2
=
x
1
x
2
+ y
1
y
2
x
2
2
+ y
2
2
+ i
x
2
y
1
− x
1
y
2
x
2
2
+ y
2
2
.
æÏÒÍÕÌÙ × ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑÈ 6 É 7 ÚÁÐÏÍÉÎÁÔØ ÎÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ, ÔÁË ËÁË
ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÞÌÅ-
ÎÏ× Ó ÕÞÅÔÏÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á i
2
= −1; Á ÄÅÌÅÎÉÅ ¡ ÐÕÔÅÍ ÄÏÍÎÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ
É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ ÎÁ z
2
É ÄÁÌØÎÅÊÛÉÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ.
ðÒÉÍÅÒ 1. äÁÎÏ z
1
= −2 + 3i É z
2
= 4 + 5i. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ
z
1
+ z
2
, z
1
− z
2
, z
1
z
2
,
z
1
z
2
,
ÕËÁÚÁÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É ÍÎÉÍÙÅ ÞÁÓÔÉ z
1
− z
2
É
z
1
z
2
.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÐÏÌÎÉÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ:
z
1
+ z
2
= (−2 + 4) + i(3 + 5) = 2 + 8i,
z
1
− z
2
= (−2 − 4) + i(3 − 5) = −6 − 2i,
z
1
z
2
= (−2 + 3i)(4 + 5i) = −8 + 12i − 10i − 15 = −23 + 2i,
z
1
z
2
=
−2 + 3i
4 + 5i
=
(−2 + 3i)(4 − 5i)
(4 + 5i)(4 − 5i)
=
7 + 22i
41
=
7
41
+ i
22
41
.
õËÁÖÅÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É ÍÎÉÍÙÅ ÞÁÓÔÉ:
Re(z
1
− z
2
) = −6, Re
z
1
z
2
=
7
41
, Im(z
1
− z
2
) = −2, Im
z
1
z
2
=
22
41
.
ðÒÉÍÅÒ 2. äÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï z + z = 2 Re z.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ z = x + iy, ÔÏÇÄÁ
Re z = x, z = x − iy.
ðÏÜÔÏÍÕ
z + z = x + iy + x − iy = 2x = 2 Re z.
7
  ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4. óÕÍÍÏÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z1 É z2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍ-
ÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
                  z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2 ).
  ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 5. òÁÚÎÏÓÔØÀ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z1 É z2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍ-
ÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
                  z1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2 ).
  ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 6. ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z1 É z2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
                    z1 · z2 = (x1x2 − y1 y2) + i(x1y2 + x2y1 ).
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 7. þÁÓÔÎÙÍ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z1 É z2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍ-
ÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
                       z1     x1 x2 + y 1 y 2    x2 y 1 − x 1 y 2
                          =       2     2     +i                  .
                       z2       x2 + y 2           x22 + y22
   æÏÒÍÕÌÙ × ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑÈ 6 É 7 ÚÁÐÏÍÉÎÁÔØ ÎÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ, ÔÁË ËÁË
ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÞÌÅ-
ÎÏ× Ó ÕÞÅÔÏÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á i2 = −1; Á ÄÅÌÅÎÉÅ ¡ ÐÕÔÅÍ ÄÏÍÎÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ
É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ ÎÁ z2 É ÄÁÌØÎÅÊÛÉÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. äÁÎÏ z1 = −2 + 3i É z2 = 4 + 5i. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ
                                                                  z1
                    z1 + z2 ,       z1 − z 2 ,     z1 z2 ,           ,
                                                                  z2
ÕËÁÚÁÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É ÍÎÉÍÙÅ ÞÁÓÔÉ z1 − z2 É zz21 .
   òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÐÏÌÎÉÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ:
                    z1 + z2 = (−2 + 4) + i(3 + 5) = 2 + 8i,
                   z1 − z2 = (−2 − 4) + i(3 − 5) = −6 − 2i,
          z1 z2 = (−2 + 3i)(4 + 5i) = −8 + 12i − 10i − 15 = −23 + 2i,
         z1     −2 + 3i (−2 + 3i)(4 − 5i) 7 + 22i        7   22
             =         =                  =           =    +i .
         z2     4 + 5i   (4 + 5i)(4 − 5i)      41       41   41
õËÁÖÅÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É ÍÎÉÍÙÅ ÞÁÓÔÉ:
                         z1    7                                z1 22
 Re(z1 − z2 ) = −6,    Re = ,          Im(z1 − z2 ) = −2,    Im = .
                         z2   41                                z2 41

  ðÒÉÍÅÒ 2. äÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï z + z = 2 Re z.
  òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ z = x + iy, ÔÏÇÄÁ
                            Re z = x,    z = x − iy.
ðÏÜÔÏÍÕ
                    z + z = x + iy + x − iy = 2x = 2 Re z.
                                       7

Страницы