Алгебра. Комплексные числа, алгебраические структуры. Илларионова О.Г - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, É ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÃÅÐÏÞËÉ (1) ÄÁÌÅÅ C ÜÔÉÍ ÍÅÔÏÄÏÍ ÕÖÅ ÎÅ×ÏÚÍÏÖ-
ÎÏ.
ðÏÜÔÏÍÕ × §2 ÍÙ ÐÏÊÄÅÍ ÄÒÕÇÉÍ ÐÕÔÅÍ - ÂÕÄÅÍ ÓÏÚÄÁ×ÁÔØ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅ-
ÓËÉÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ: ÐÏÌÑ, ËÏÌØÃÁ, ÇÒÕÐÐÙ ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÐÏÈÏÖÉÅ ÎÁ ÞÉÓÌÁ É
ÉÍÅÀÝÉÅ ÉÈ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á. ôÁËÉÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÐÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ×ÓÀÄÕ × ÓÏ-
×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÎÁÕËÅ: × ÆÉÚÉËÅ, ÈÉÍÉÉ, computer science, ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ, É ÂÕÄÕÔ
ÐÒÉÍÅÎÑÔØÓÑ ÅÝÅ ÂÏÌØÛÅ.
1. ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ É ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÎÁÄ ÎÉÍÉ
1.1. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ( × ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ ) ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
z = x + iy,
ÇÄÅ x É y ¡ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, i ¡ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÍÎÉÍÁÑ ÅÄÉÎÉÃÁ,
ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÁÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
i =
√
−1 É i
2
= −1,
x ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÞÁÓÔØÀ, y ÍÎÉÍÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÞÉÓÌÁ z. éÈ ÏÂÏ-
ÚÎÁÞÁÀÔ ÔÁË:
x = Re z, y = Im z.
åÓÌÉ x = 0, ÔÏ ÞÉÓÌÏ 0 + iy = iy ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÍ, ÅÓÌÉ y = 0, ÔÏ
ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ x + i0 = x.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. ä×Á ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÌÁ z
1
= x
1
+ iy
1
É z
2
= x
2
+
+ iy
2
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÁ×ÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÒÁ×ÎÙ ÉÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É ÍÎÉÍÙÅ ÞÁÓÔÉ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, Ô.Å.
z
1
= z
2
⇔ x
1
= x
2
É y
1
= y
2
.
îÁÄ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÍÏÖÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉ-
ÞÅÓËÉÅ É ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ, Á ÔÁËÖÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÓÏÐÒÑÖÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÏÅ
ÉÚÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË ÍÎÉÍÏÊ ÞÁÓÔÉ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3. ëÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z = x−iy ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÍ
ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ
z = x + iy
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ
z = z.
óÌÏÖÅÎÉÅ, ×ÙÞÉÔÁÎÉÅ, ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ É ÄÅÌÅÎÉÅ ÕÄÏÂÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔØ ÎÁÄ ËÏÍ-
ÐÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, ÚÁÐÉÓÁÎÎÙÍÉ × ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ.
ðÕÓÔØ z
1
= x
1
+ iy
1
, z
2
= x
2
+ iy
2
.
6
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, É ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÃÅÐÏÞËÉ (1) ÄÁÌÅÅ C ÜÔÉÍ ÍÅÔÏÄÏÍ ÕÖÅ ÎÅ×ÏÚÍÏÖ-
ÎÏ.
   ðÏÜÔÏÍÕ × §2 ÍÙ ÐÏÊÄÅÍ ÄÒÕÇÉÍ ÐÕÔÅÍ - ÂÕÄÅÍ ÓÏÚÄÁ×ÁÔØ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅ-
ÓËÉÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ: ÐÏÌÑ, ËÏÌØÃÁ, ÇÒÕÐÐÙ ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÐÏÈÏÖÉÅ ÎÁ ÞÉÓÌÁ É
ÉÍÅÀÝÉÅ ÉÈ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á. ôÁËÉÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÐÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ×ÓÀÄÕ × ÓÏ-
×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÎÁÕËÅ: × ÆÉÚÉËÅ, ÈÉÍÉÉ, computer science, ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ, É ÂÕÄÕÔ
ÐÒÉÍÅÎÑÔØÓÑ ÅÝÅ ÂÏÌØÛÅ.

1. ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ É ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÎÁÄ ÎÉÍÉ
1.1. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ

   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. ëÏÍÐÌÅËÓÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ( × ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ ) ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
                             z = x + iy,
ÇÄÅ x É y ¡ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, i ¡ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÍÎÉÍÁÑ ÅÄÉÎÉÃÁ,
ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÁÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
                              √
                          i = −1 É i2 = −1,
   x ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÞÁÓÔØÀ, y ÍÎÉÍÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÞÉÓÌÁ z. éÈ ÏÂÏ-
ÚÎÁÞÁÀÔ ÔÁË:
                           x = Re z, y = Im z.
åÓÌÉ x = 0, ÔÏ ÞÉÓÌÏ 0 + iy = iy ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÍ, ÅÓÌÉ y = 0, ÔÏ
ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ x + i0 = x.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. ä×Á ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÌÁ z1 = x1 + iy1 É z2 = x2 +
+ iy2 ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÁ×ÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÒÁ×ÎÙ ÉÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É ÍÎÉÍÙÅ ÞÁÓÔÉ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, Ô.Å.
                       z1 = z 2 ⇔ x 1 = x2 É y 1 = y 2 .
   îÁÄ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÍÏÖÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉ-
ÞÅÓËÉÅ É ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ, Á ÔÁËÖÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÓÏÐÒÑÖÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÏÅ
ÉÚÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË ÍÎÉÍÏÊ ÞÁÓÔÉ.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3. ëÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z = x−iy ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÍ
ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ
                                   z = x + iy
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ z = z.
   óÌÏÖÅÎÉÅ, ×ÙÞÉÔÁÎÉÅ, ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ É ÄÅÌÅÎÉÅ ÕÄÏÂÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔØ ÎÁÄ ËÏÍ-
ÐÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, ÚÁÐÉÓÁÎÎÙÍÉ × ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ.
   ðÕÓÔØ z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 .
                                         6

Страницы