Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 13 стр.

      12. Имеются три двери с кодовыми замками. Кодовый замок               Определение. Два события называются несовместными, ес-
имеет 10 кнопок с цифрами от 0 до 9. Код состоит из двух разных       ли они (как подмножества пространства элементарных исходов) не
цифр, порядок которых не важен. Какова вероятность того, что          имеют общих элементарных исходов. Попросту говоря, два собы-
случайно выбранные две цифры являются кодом хотя бы для од-           тия несовместны, если они не могут происходить одновременно.
ного из замков?                                                             Определение. Произведением событий А и В называется их
      13. Телефонный номер состоит из 6-ти цифр от 0 до 9. Чело-      пересечение как подмножеств пространства элементарных исхо-
век забыл в нужном ему номере последние 3 цифры и пытается их         дов. Проще говоря, произведение событий А и В – это событие,
угадать. Известно, что две цифры из трех забытых совпадают. Ка-       состоящее в том, что произошли два события сразу: и А, и В.
кова вероятность того, что он угадает их с двух попыток?                    Сумма и произведение событий обозначаются обычным
      14. На станке должны быть последовательно обработаны 5          способом: А+В и АВ.
деталей. Сколько вариантов должен проанализировать технолог                 Теорема сложения. 1. Вероятность суммы двух несовме-
для выбора наилучшей очередности их обработки?                        стных событий равна сумме вероятностей слагаемых. Коротко
      15. Текст кодируется цифрами от 0 до 9. Сколько различных                                           p( A + B) = p( A) + p(B).
сообщений можно передать комбинацией из 7-ми цифр?                         2. Вероятность суммы двух совместных событий равна
      16. На участке работают 30 человек. Сколько существует          сумме вероятностей слагаемых без вероятности их произведения.
различных способов сформировать из них бригаду в составе: а)                                     p ( A + B) = p( A) + p( B) - p( AB).
мастера и рабочего; б) мастера и четырех рабочих?
                                                                              Доказательство.
      17. В урне 3 белых и 4 черных шара. Наудачу вынимают два
шара. Какое из событий более вероятно: A – шары одного цвета; В                                      {                    }       {
                                                                              1. Пусть A = ω1' , ω2' , K , ωl' , B = ω1'' , ω2'' , K , ωm'' , при-        }
– шары разных цветов?
                                                                      чем ωi' ≠ ω ''j при всех i = 1, 2, K , l ,                   j = 1, 2, K, m . Тогда
      18. Десять студентов договорились ухать определенной элек-
тричкой, но не договорились, в каком вагоне. Какова вероятность       A + B = {ω1' , ω2' , K, ωl' , ω1'' , ω2'' , K, ωm'' } . Следовательно, по оп-
того, что хотя бы двое из них попадут в один вагон, если в составе
электрички 10 вагонов? Предполагается, что каждый студент вы-         ределению вероятности
бирает вагон наугад. (У к а з а н и е . Вычислите вероятность того,    p ( A + B ) = p (ω1' ) + K + p (ωl' ) + p (ω1'' ) + K + p (ω m'' ) = p ( A) + p ( B ) .
что все студенты попадут в разные вагоны).                                    2. Допустим, что                 A и B совместны, и, к примеру,
      2.1.4. Основные теоремы теории вероятностей
                                                                      AB = {ω = ω , ω = ω } . Тогда
                                                                                  '
                                                                                  1
                                                                                        ''
                                                                                        1
                                                                                                 '
                                                                                                 2
                                                                                                         ''
                                                                                                         2


      В этом параграфе мы введем понятия суммы и произведения                           A + B = {ω1' , ω2' , K, ωl' , ω3'' , ω4'' , K, ωm'' } .
событий, а также рассмотрим утверждения, показывающие, как                    Следовательно,
связаны вероятность суммы событий с вероятностями слагаемых и          p ( A + B ) = p (ω1' ) + K + p (ωl' ) + p (ω3'' ) + K + p (ωm'' ) =
вероятность произведения с вероятностями сомножителей.
      Определение. Суммой событий А и В называется их объе-           = p (ω1' ) + K + p (ω1' ) + K + p (ωl' ) + p (ω1'' ) + p (ω2'' ) + p (ω3'' ) + K + p (ωm'' ) −
динение как подмножеств пространства элементарных исходов.
Проще говоря, сумма событий А и В – это событие, состоящее в            (                    )
                                                                      − p (ω1'' ) + p (ω2'' ) = p ( A ) + p ( B ) − p ( AB ) .
том, что произошло хотя бы одно из двух: А или В, возможно два              Два события называют независимыми, если появление одно-
сразу. Аналогично определяется сумма большего числа событий.          го не влияет на вероятность появления второго.
                                25                                                                                   26