Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 15 стр.

      Таким образом, мы вывели формулу, которую называют                                      Нестрогое доказательство этих формул можно увидеть из
формулой полной вероятности.                                                            картинки: искомая вероятность равна отношению площади секто-
p( A) = p( H1 )· p( A / H1 ) + p( H 2 )· p( A / H 2 ) + K + p ( H n )· p ( A / H n ).   ра, по которому A пересекается с H i , к площади A.
     События H1 , H 2 , …, H n обычно называют гипотезами.                                    Пример 16. Снова рассмотрим задачу про старца. Допус-
     Пример 15. Из пункта A в пункт B ведут три дороги, причем                          тим, мы знаем, что старец дошел до пункта B. Найдем вероятность
первая имеет одну развилку, третья – две, вторая дорога развилок                        того, что он шел по второй дороге. По формуле Байеса получаем
не имеет.                                                                                                         P( H 2 ) ⋅ P ( A H 2 ) 1/ 3 4
                                                                                                      P( H 2 A) =                       =      = .
     Р е ш е н и е . Слепой старец идет из A и B. В пункте A, а так-                                                     P( A)            7 /12 7
же на каждой развилке старец выбирает дорогу наугад. Найти ве-                                Пример 17. Экономист полагает, что вероятность роста
роятность того, что он дойдет до пункта B.                                              стоимости акций некоторой компании в следующем году равна
                                                                                        0,75, если экономика страны будет на подъёме; и эта же вероят-
                                                                                        ность равна 0,30, если экономика страны не будет успешно разви-
                                                                                        ваться. По его мнению, вероятность экономического подъёма в
                                                                                        будущем году равна 0,80. Используя предположения экономиста,
                                                                                        оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене
                                                                                        в следующем году?
                                                                                              Р е ш е н и е . Событие А – «акции компании поднимутся в
     Пусть D обозначает событие, что старец дошел до пункта B.                          цене в будущем году». Составим рабочую таблицу (см. табл. 1).
Выдвинем следующие гипотезы: H1 – он выбрал первую дорогу,
                                                                                                                                                       Таблица 1
H 2 – вторую, H 3 – третью. Поскольку дороги старец выбирает
наугад, то вероятность каждой гипотезы равна 1/3. Вероятность                            Hi       Гипотезы H i      P( H i )   P( A / H i ) P( H i ) ⋅ P( A / H i )
того, что старец дойдет до пункта B, если он выбрал первую доро-                                H1 – «подъем эко-    0,80         0,75               0,60
гу равна 1/2; при выборе второй – 1; если же он выбирает третью                             1   номики»
дорогу, то он доходит с вероятностью 1/4 (он должен дважды из                                   H2 – *спад эконо-    0,20         0,30               0,06
двух дорог выбрать нужную). Следовательно, пользуясь формулой                               2   мики»
полной вероятности, получаем                                                            ∑                            1,00           –            P(А) = 0,66
                              1 1 1     1 1 7
                      P ( A) = ⋅ + ⋅ 1 + ⋅ = .
                              3 2 3     3 4 12                                               Пример 18. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4
      Вернемся к тому, с чего мы начали этот параграф, и рас-                           белых шара. Из урны 1 в урну 2 наудачу переложен один шар.
смотрим такую задачу: известно, что событие A произошло, найти                          Найти вероятность того, что шар, извлеченный из урны 2 после
вероятность того, что при этом произошло событие H i . Решение                          перекладывания, окажется черным?
                                                                                             Р е ш е н и е . Событие А – «шар, извлеченный из урны 2 –
этой задачи дают формулы Байеса:
                                                                                        черный». Составим рабочую таблицу (см. табл. 2).
                                       P( H i ) ⋅ P( A H i )
                        P ( H i A) =                         .
                                              P( A)
                                         29                                                                              30