Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 17 стр.

      Пример 21. Найти вероятность того, что событие A насту-                        Формула Бернулли требует громоздких расчетов при боль-
пит не менее трех раз в серии из четырех испытаний, если вероят-               шом количестве испытаний. Можно получить более удобную для
ность появления события A в каждом испытании равна 0,4.                        расчетов приближенную формулу, если при большом числе испы-
      Р е ш е н и е . Ожидаемое событие произойдет, если событие               таний вероятность появления A в одном опыте мала, а произве-
A наступит либо три, либо четыре раза. Таким образом, искомая                  дение np = λ сохраняет постоянное значение для разных серий
вероятность равна                                                              опытов (т. е. среднее число появлений события A в разных сериях
      P4 (3) + P4 (4) = C34 ( 0, 4 ) ( 0, 6 ) + C44 ( 0, 4 ) ( 0, 6 ) =
                                           3     1              4        0
                                                                               испытаний остается неизменным).
                                                                                     Применим формулу Бернулли:
           4!                           4!
                 ⋅ ( 0, 4 ) ( 0, 6 ) +         ⋅ ( 0, 4 ) ( 0, 6 ) = 0,1792.
                           3        1                    4        0
      =                                                                                                 n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) k
          3! ⋅1!                       4! ⋅ 0!                                              pn (k ) =                                p (1 − p) n − k =
      Схема Бернулли – это последовательность n идентичных ис-                                                       k!
                                                                                                                                   k          n−k
пытаний, удовлетворяющих следующим условиям:                                               n(n − 1) ...(n − k + 1) ⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞
      1. Каждое испытание имеет два исхода: успех и неуспех –                            =                         ⎜ ⎟ ⎜1 − ⎟                          .
                                                                                                     k!            ⎝n⎠ ⎝ n⎠
взаимно несовместные и противоположные события.
      2 Вероятность успеха p остается постоянной от испытания                          Найдем предел полученного выражения при n → ∞ :
к испытанию. Вероятность неуспеха q = 1- p .                                                    λk        ⎛ ⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ k − 1 ⎞⎛ λ ⎞ n − k ⎞
                                                                                   pn (k ) ≈        lim ⎜ 1 ⋅ ⎜ 1 − ⎟⎜1 − ⎟ ... ⎜ 1 −   ⎟⎜ 1 − ⎟ ⎟ =
      3. Все n испытаний независимы. Вероятность наступления                                    k ! n →∞ ⎜⎝ ⎝ n ⎠⎝ n ⎠ ⎝              n ⎠⎝ n ⎠ ⎟⎠
события в любом из испытаний не зависит от результатов других                                              n         −k
испытаний.                                                                             λk        ⎛ λ⎞ ⎛ λ⎞       λ −λ          k
                                                                                   =        lim ⎜1 − ⎟ ⎜ 1 − ⎟ =    ⋅ e ⋅1.
      Успех и неуспех – статистические термины. Например, ко-                           k ! n →∞ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠     k!
гда имеют дело с производственным процессом, то исход испыта-                          Таким образом, формула Пуассона
ния «деталь дефектная» определяют как успех. Успех относится к
                                                                                                                               λk e − λ
появлению определенного события – «деталь дефектная», а неус-                                                     p n (k ) =
пех относится к непоявлению события.                                                                                                   k!
      Пример 22. Для получения приза нужно собрать 5 изделий с                 позволяет найти вероятность k появлений события А для массо-
особым знаком на этикетке. Найти вероятность того, что придется                вых ( n велико) и редких ( p мало) событий.
купить 10 изделий, если этикетки с этим знаком имеют 5% изде-                        Пример 23. Радиоприбор состоит из 1000 электроэлементов.
лий.                                                                           Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы
      Р е ш е н и е . Из постановки задачи следует, что последнее              равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Найти
купленное изделие имеет особый знак. Следовательно, из преды-                  вероятность того, что в течение года откажут ровно два элемента.
дущих девяти эти знаки имели 4 изделия. Найдем вероятность                           Р е ш е н и е . Искомая вероятность равна
этого по формуле Бернулли:
                                                                                                                 ( 0, 001) ⋅ ( 0,991)
                                                                                                             2             2                1998
                                                                                                           C1000                                   .
              p9 (4) = C ⋅ (0,05) ⋅ (0,95) = 0,0006092.
                           4
                           9
                                       4          5

                                                                               Поскольку число элементов велико, а вероятность «успеха» (отка-
     Тогда                                                                     за) мала, то искомую вероятность можно приближенно вычислить
                 p = 0, 0006092 ⋅ 0, 05 = 0, 0000304 .                         по формуле Пуассона:

                                           33                                                                             34