ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
31
Таблица 2
i
H
Гипотезы
i
H
()
i
PH (/ )
i
PA H ()(/ )
ii
PH PA H
⋅
1 H
1
– «из урны 1 в
урну 2 переложили
черный шар»
6/10 7/11 42/110
2 H
2
– «из урны 1 в
урну 2 переложили
белый шар»
4/10 6/11 24/110
∑ 1,00 – Р(А) = 0,60
Пример 19. Экономист полагает, что в течение периода ак-
тивного экономического роста американский доллар будет расти в
цене с вероятностью 0,7, в период умеренного экономического
роста доллар подорожает с вероятностью 0,4, и при низких темпах
экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В
течение любого периода времени вероятность активного экономи-
ческого роста равна 0,3, в периоды умеренного экономического
роста равна 0,5, низкого роста – 0,2. Предположим, что доллар до-
рожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того,
что анализируемый период совпал с периодом активного эконо-
мического роста?
Решение. Определим гипотезы: Н
1
– «активный эконо-
мический рост»; H
2
– «умеренный экономический рост»; H
3
–
«низкий экономический рост».
Определим событие
A
– «доллар дорожает». Имеем:
1
()0,3PH = ;
2
()0,5PH
=
;
3
()0,2PH = ;
1
(/ ) 0,7PA H
=
;
2
(/ ) 0,4PA H = и
3
(/ ) 0,2PA H = . Найти
(
)
1
/PH A.
Используя формулу Байеса и подставляя заданные значения
вероятностей, имеем:
()
()( )
()( ) ()( ) ()( )
.467,0
2,02,04,05,07,03,0
7,03,0
///
/
/
332211
11
1
=
⋅+⋅+⋅
⋅
=
=
⋅+⋅+⋅
⋅
=
HAPHPHAPHPHAPHP
HAPHP
AHP
32
2.1.6. Последовательности независимых испытаний
Если производятся испытания, при которых вероятность по-
явления события A в каждом испытании не зависит от исходов
других испытаний, то такие испытания называют независимыми
относительно события A.
Задача. Проводится серия из n независимых испытаний, в
каждом из которых событие A может наступить с вероятностью
p
. Найти вероятность ()
n
Pk того, что событие A произойдет ров-
но
k раз.
Решим поставленную задачу для случая, когда
5 n = и 3k = .
Как обычно, через
A
обозначим событие, противоположное к A,
тогда
() 1
p
Aq p
=
=− . Событие, состоящее в том, что A произой-
дет ровно
k раз, можно представить в виде
AAAĀĀ+AAĀAĀ+AAĀĀA+AĀAĀA+AĀĀAA+ĀAĀAA+ĀĀAAA+
+ĀAAAĀ+ĀAAĀA+AĀAAĀ
Здесь 10 слагаемых, это в точности число сочетаний из 5-ти
по 3, причем слагаемые попарно несовместны. Вероятность каж-
дого слагаемого равна p
3
q
2
, следовательно,
32
5
(3) 10Ppq= .
В общем случае решение задачи дает формула Бернулли:
()
kknk
nn
Pk C pq
−
=⋅
Пример 20. Два равносильных игрока играют в шахматы.
Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три из шести
(ничьи не считаются)?
Решение. Поскольку игроки равносильны, то вероятность
выигрыша p = 1/2 и вероятность проигрыша q также равна 1/2.
Применяя формулу Бернулли, получим
()
22
222
44
4! 1 1 1 1 3
(2) 6
2! 4 2 ! 2 2 4 4 8
PCpq
⎛⎞⎛⎞
=
⋅= ⋅⋅=⋅⋅=
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠
.
()
33
333
66
6! 1 1 1 1 5
(3) 20
3! 6 3 ! 2 2 8 8 16
PCpq
⎛⎞⎛⎞
=⋅ = ⋅ ⋅ =⋅⋅=
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠
.
Таблица 2 2.1.6. Последовательности независимых испытаний
Hi Гипотезы H i P( H i ) P( A / H i ) P( H i ) ⋅ P( A / H i ) Если производятся испытания, при которых вероятность по-
явления события A в каждом испытании не зависит от исходов
1 H1 – «из урны 1 в 6/10 7/11 42/110
других испытаний, то такие испытания называют независимыми
урну 2 переложили
относительно события A.
черный шар»
Задача. Проводится серия из n независимых испытаний, в
2 H2 – «из урны 1 в 4/10 6/11 24/110
каждом из которых событие A может наступить с вероятностью
урну 2 переложили
белый шар» p . Найти вероятность Pn (k ) того, что событие A произойдет ров-
∑ 1,00 – Р(А) = 0,60 но k раз.
Решим поставленную задачу для случая, когда n = 5 и k = 3 .
Пример 19. Экономист полагает, что в течение периода ак- Как обычно, через A обозначим событие, противоположное к A,
тивного экономического роста американский доллар будет расти в
тогда p ( A) = q = 1 − p . Событие, состоящее в том, что A произой-
цене с вероятностью 0,7, в период умеренного экономического
роста доллар подорожает с вероятностью 0,4, и при низких темпах дет ровно k раз, можно представить в виде
экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В AAAĀĀ+AAĀAĀ+AAĀĀA+AĀAĀA+AĀĀAA+ĀAĀAA+ĀĀAAA+
течение любого периода времени вероятность активного экономи- +ĀAAAĀ+ĀAAĀA+AĀAAĀ
ческого роста равна 0,3, в периоды умеренного экономического Здесь 10 слагаемых, это в точности число сочетаний из 5-ти
роста равна 0,5, низкого роста – 0,2. Предположим, что доллар до- по 3, причем слагаемые попарно несовместны. Вероятность каж-
рожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, дого слагаемого равна p3q2, следовательно,
что анализируемый период совпал с периодом активного эконо- P5 (3) = 10 p 3 q 2 .
мического роста? В общем случае решение задачи дает формула Бернулли:
Р е ш е н и е . Определим гипотезы: Н1 – «активный эконо-
мический рост»; H2 – «умеренный экономический рост»; H3 – Pn (k ) = Cnk ⋅ p k q n − k
«низкий экономический рост». Пример 20. Два равносильных игрока играют в шахматы.
Определим событие A – «доллар дорожает». Имеем: Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три из шести
P ( H1 ) = 0,3 ; P ( H 2 ) = 0,5 ; P ( H 3 ) = 0, 2 ; P( A / H1 ) = 0, 7 ; (ничьи не считаются)?
Р е ш е н и е . Поскольку игроки равносильны, то вероятность
P ( A / H 2 ) = 0, 4 и P ( A / H 3 ) = 0, 2 . Найти P ( H1 / A ) . выигрыша p = 1/2 и вероятность проигрыша q также равна 1/2.
Используя формулу Байеса и подставляя заданные значения Применяя формулу Бернулли, получим
2 2
вероятностей, имеем: 4! ⎛1⎞ ⎛1⎞ 1 1 3
P (H 1 ) ⋅ P ( A / H 1 ) P4 (2) = C ⋅ p q =
2 2 2
⋅⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ = 6⋅ ⋅ = .
P (H 1 / A) = 2!( 4 − 2 ) ! ⎝ 2 ⎠
4
= ⎝ 2⎠ 4 4 8
P (H 1 ) ⋅ P ( A / H 1 ) + P (H 2 ) ⋅ P ( A / H 2 ) + P (H 3 ) ⋅ P ( A / H 3 )
3 3
0,3 ⋅ 0,7 6! ⎛1⎞ ⎛1⎞ 1 1 5
= = 0,467. P6 (3) = C ⋅ p q =
3 3 3
⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 20 ⋅ ⋅ = .
3!( 6 − 3) ! ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
6
0,3 ⋅ 0,7 + 0,5 ⋅ 0,4 + 0,2 ⋅ 0,2 8 8 16
31 32
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
