ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
27
Условной вероятностью события А относительно события В
называется вероятность события А, вычисленная в предположе-
нии, что событие В произошло. Условную вероятность события А
относительно события В обозначают
(/).
p
AB
Теорема умножения. Вероятность произведения двух со-
бытий равна произведению вероятности одного на условную ве-
роятность второго относительно первого, то есть
() ()·(/).
p
AB p A p B A
=
Если события А и В независимые, то
(/) ()
p
BA pB
=
и, сле-
довательно, в этом случае
() ()·().
p
AB p A p B=
Теоремы сложения и умножения можно сформулировать и
для большего числа событий. В случае трех событий они выглядят
так:
( ) ( ) ( ) ( ) - ( ) - ( ) -
- ( ) ( );
pA B C pA pB pC pAB pAC
p BC p ABC
++ = + +
+
( ) ()·( / )·( / ).
p
ABC p A p B A p C AB
=
Как и в случае двух событий, теорема сложения особенно
просто звучит, когда события несовместны: вероятность суммы
несовместных событий равна сумме вероятностей слагаемых.
Аналогично, теорема умножения для независимых событий: веро-
ятность произведения независимых событий равна произведению
вероятностей сомножителей.
Напомним, что через Ā обозначается событие, противопо-
ложное к А, и
(
)
()
1
p
ApA=− .
Пример 13. Автобусный билет называют «счастливым», ес-
ли сумма первых трех цифр равна сумме последних трех. Вероят-
ность получить такой билет равна 0,05525. Найти вероятность то-
го, что из двух взятых билетов будет хотя бы один «счастливый»,
если, а) они имеют последовательные номера; б) они куплены не-
зависимо друг от друга.
Решение
. Пусть A – первый билет «счастливый»;
B
– вто-
рой билет «счастливый». Тогда событие «из двух взятых билетов
28
будет хотя бы один «счастливый» есть
A
B
+
. В случае а) события
А и В несовместны, следовательно,
( ) ( ) ( ) 0,05525 0, 05525 0,1105.pA B pA pB
+
=+= + =
В случае же б) не исключено, что оба билета окажутся «сча-
стливыми», то есть события совместны, а потому
( ) ( ) ( ) - ( ) = 0,05525 0,05525 -
- 0,05525·0,05525 0,1075.
pA B pA pB pAB
+
=+ +
=
Здесь мы учли, что события А и В независимы, и, следова-
тельно
( ) ( ) · ( ) 0,05525 · 0, 05525 0,00305.pAB pA pB
=
==
Пример 14. Сколько раз надо бросить игральную кость, что-
бы вероятность того, что шестерка не выпала ни разу, была бы
меньше 0,3?
Решение. Невыпадение шестерки при k-том бросании
обозначим
k
A . Тогда для каждого k вероятность события
k
A равна
5/6. Допустим, что для выполнения условия задачи требуется n
бросаний, то есть
12
(·· · ) 0,3.
n
pAA A
<
K
Учитывая независимость
событий, получаем
(5 / 6) 0,3
n
< . Отсюда
5
6
log 0,3 6.n >>
2.1.5. Формула полной вероятности и формулы Байеса
Допустим, событие A может произойти
вместе с одним из несовместных событий
12
, , ,
n
HH H
…
, образующих полную груп-
пу событий (то есть
12
+ +
n
HH H
…
+=Ω
).
Тогда
12 n
A
AH AH AH
=
+++
K
, причем
слагаемые этой суммы являются несовмест-
ными событиями. Следовательно,
12
112 2
() ( ) ( ) ( )
( )·( / ) ( )·( / ) ( )·( / ).
n
nn
pA pAH pAH pAH
pH pA H pH pA H pH pA H
=
+++ =
=+ ++
K
K
Условной вероятностью события А относительно события В будет хотя бы один «счастливый» есть A + B . В случае а) события
называется вероятность события А, вычисленная в предположе- А и В несовместны, следовательно,
нии, что событие В произошло. Условную вероятность события А p( A + B) = p( A) + p ( B) = 0, 05525 + 0, 05525 = 0,1105.
относительно события В обозначают p ( A / B). В случае же б) не исключено, что оба билета окажутся «сча-
Теорема умножения. Вероятность произведения двух со- стливыми», то есть события совместны, а потому
бытий равна произведению вероятности одного на условную ве- p( A + B) = p( A) + p( B) - p ( AB) = 0, 05525 + 0, 05525 -
роятность второго относительно первого, то есть
p( AB) = p( A) · p( B / A). - 0, 05525·0, 05525 = 0,1075.
Здесь мы учли, что события А и В независимы, и, следова-
Если события А и В независимые, то p ( B / A) = p ( B) и, сле-
тельно
довательно, в этом случае p ( AB) = p( A) · p( B). p( AB) = p( A) · p( B) = 0, 05525 · 0, 05525 = 0,00305.
Теоремы сложения и умножения можно сформулировать и Пример 14. Сколько раз надо бросить игральную кость, что-
для большего числа событий. В случае трех событий они выглядят бы вероятность того, что шестерка не выпала ни разу, была бы
так:
меньше 0,3?
p ( A + B + C ) = p ( A) + p ( B ) + p (C ) - p ( AB ) - p ( AC ) - Р е ш е н и е . Невыпадение шестерки при k-том бросании
- p ( BC ) + p ( ABC ); обозначим Ak . Тогда для каждого k вероятность события Ak равна
p( ABC ) = p( A) · p( B / A) · p(C / AB). 5 / 6 . Допустим, что для выполнения условия задачи требуется n
Как и в случае двух событий, теорема сложения особенно бросаний, то есть p ( A1 · A2 · K · An ) < 0,3. Учитывая независимость
просто звучит, когда события несовместны: вероятность суммы
несовместных событий равна сумме вероятностей слагаемых. событий, получаем (5 / 6) n < 0,3 . Отсюда n > log 5 0,3 > 6.
Аналогично, теорема умножения для независимых событий: веро- 6
ятность произведения независимых событий равна произведению
вероятностей сомножителей. 2.1.5. Формула полной вероятности и формулы Байеса
Напомним, что через Ā обозначается событие, противопо- Допустим, событие A может произойти
ложное к А, и вместе с одним из несовместных событий
( )
p A = 1 − p ( A) . H1 , H 2 , …, H n , образующих полную груп-
Пример 13. Автобусный билет называют «счастливым», ес- пу событий (то есть H1 + H 2 + …+ H n = Ω ).
ли сумма первых трех цифр равна сумме последних трех. Вероят- Тогда A = AH1 + AH 2 + K + AH n , причем
ность получить такой билет равна 0,05525. Найти вероятность то-
го, что из двух взятых билетов будет хотя бы один «счастливый», слагаемые этой суммы являются несовмест-
если, а) они имеют последовательные номера; б) они куплены не- ными событиями. Следовательно,
зависимо друг от друга. p ( A) = p ( AH1 ) + p ( AH 2 ) + K + p ( AH n ) =
Р е ш е н и е . Пусть A – первый билет «счастливый»; B – вто-
рой билет «счастливый». Тогда событие «из двух взятых билетов = p( H1 )· p( A / H1 ) + p( H 2 )· p( A / H 2 ) + K + p( H n )· p( A / H n ).
27 28
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
