Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 40 стр.

     3.2. Числовые характеристики статистического распре-                                                       2 ⋅3 + 5⋅8 + 7 ⋅ 7 + 8⋅ 2
деления                                                                                                    хВ =                            = 5,55;
                                                                                                                           20
     Одна из задач математической статистики: по имеющейся                                                      4 ⋅ 3 + 25 ⋅ 8 + 49 ⋅ 7 + 64 ⋅ 2
выборке оценить значения числовых характеристик исследуемой                                                DB =                                  − 5,552 = 3,3475;
случайной величины.                                                                                                            20
     Определение. Выборочным средним называется среднее                                                    σ B = 3,3475 = 1,83.
арифметическое значений случайной величины, принимаемых в                                                Другими характеристиками вариационного ряда являются:
выборке:                                                                                                 – мода М0 – варианта, имеющая наибольшую частоту (в пре-
                                                                         k
                                                                                                   дыдущем примере М0 = 5).
     х + х 2 + ... + х п n1 x1 + n2 x 2 + ... + nk x k               ∑n x        i   i                   – медиана те – варианта, которая делит вариационный ряд
 хВ = 1                 =                              =             i =1
                                                                                         ,   (2)   на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечет-
             п                         n                                     n
                                                                                                                                                                               x k + x k +1
где xi – варианты, ni – частоты.                                                                   но ( n = 2k + 1 ), то me = xk+1, а при четном n = 2k те =                                .
                                                                                                                                                                                    2
       З а м е ч а н и е . Выборочное среднее служит для оценки ма-
тематического ожидания исследуемой случайной величины. В                                                                                 5+7
                                                                                                   В частности, в примере 1 me =             = 6.
дальнейшем будет рассмотрен вопрос, насколько точной является                                                                             2
такая оценка.                                                                                           Оценки начальных и центральных моментов (так называе-
       Определение. Выборочной дисперсией называется                                               мые эмпирические моменты) определяются аналогично соответст-
                          n                     k                                                  вующим теоретическим моментам:
                      ∑ ( xi − x B ) 2         ∑ n (x i   i   − xB ) 2                                  - начальным эмпирическим моментом порядка k называется
               DB =                        =                                                                                          ∑n x
                         i =1                  i =1
                                                                         ,                   (3)                                                         k
                                n                         n                                                                    Mk   =
                                                                                                                                                     i   i
                                                                                                                                                             .                          (6)
а выборочным средним квадратическим отклонением –                                                                                                n
                                    σ В = DB .            (4)
                                                                                                         В частности, M 1 =
                                                                                                                               ∑n x  i       i
                                                                                                                                                 = x B , то есть начальный эмпи-
      Так же, как в теории случайных величин, можно доказать,                                                                       n
что справедлива следующая формула для вычисления выборочной                                        рический момент первого порядка равен выборочному среднему.
дисперсии:                                                                                              – центральным эмпирическим моментом порядка k называ-
                                D = x 2 − (x ) 2 .     (5)                                         ется
     Пример 2. Найдем числовые характеристики выборки, за-
                                                                                                                          тk   =
                                                                                                                                 ∑ n (x  i       i   − хВ ) k
                                                                                                                                                                  .                     (7)
данной статистическим рядом                                                                                                               n
      xi             2                 5                      7                          8
                                                                                                         В частности, т 2 =
                                                                                                                               ∑ ni ( x i − х В ) 2              = DB , то есть централь-
      ni             3                 8                      7                          2                                                   n
                                                                                                   ный эмпирический момент второго порядка равен выборочной
                                                                                                   дисперсии.

                                      79                                                                                                 80