ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
75
3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
3.1. Основные понятия математической статистики
Математическая статистика занимается установлением за-
кономерностей, которым подчинены массовые случайные явле-
ния, на основе обработки статистических данных, полученных в
результате наблюдений. Двумя основными задачами математиче-
ской статистики являются:
– определение способов сбора и группировки этих статисти-
ческих данных;
– разработка методов анализа полученных данных в зависи-
мости от целей исследования, к которым
относятся:
а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неиз-
вестной функции распределения; оценка параметров распределе-
ния, вид которого известен; оценка зависимости от других слу-
чайных величин и т.д.;
б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного рас-
пределения или о значениях параметров известного распределения.
Для решения этих задач необходимо выбрать из большой
совокупности однородных объектов ограниченное количество
объектов, по результатам изучения которых можно сделать про-
гноз относительно исследуемого признака этих объектов.
Определим основные понятия математической
статистики.
Генеральная совокупность
– все множество имеющихся
объектов.
Выборка – набор объектов, случайно отобранных из гене-
ральной совокупности.
Объем генеральной совокупности N и объем выборки n –
число объектов в рассматриваемой совокупности.
Виды выборки:
Повторная – каждый отобранный объект перед выбором
следующего возвращается в генеральную совокупность;
Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокуп-
ность не возвращается.
Замечание. Для того,
чтобы по исследованию выборки
можно было сделать выводы о поведении интересующего нас при-
знака генеральной совокупности, нужно, чтобы выборка правиль-
76
но представляла пропорции генеральной совокупности, то есть
была репрезентативной (представительной). Учитывая закон
больших чисел, можно утверждать, что это условие выполняется,
если каждый объект выбран случайно, причем для любого объекта
вероятность попасть в выборку одинакова.
1.1. Первичная обработка результатов
Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в
выборке значение х
1
п
1
раз, х
2
– п
2
раз, …, х
к
– п
к
раз, причем
∑
=
=
k
i
k
nn
1
, где п – объем выборки. Тогда наблюдаемые значения
случайной величины х
1
, х
2
, …, х
к
называют вариантами, а п
1
, п
2
, …,
п
к
– частотами. Если разделить каждую частоту на объем выбор-
ки, то получим относительные частоты
.
n
n
w
i
i
=
Последова-
тельность вариант, записанных в порядке возрастания, называют
вариационным
рядом, а перечень вариант и соответствующих им
частот или относительных частот – статистическим рядом:
x
i
x
1
x
2
…
x
k
n
i
n
1
n
2
…
n
k
w
i
w
1
w
2
…
w
k
Пример 1. При проведении 20 серий из 10 бросков играль-
ной кости число выпадений шести очков оказалось равным 1, 1, 4,
0, 1, 2, 1, 2, 2, 0, 5, 3, 3, 1, 0, 2, 2, 3, 4, 1. Составим вариационный
ряд: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Статистический ряд для абсолютных и относи-
тельных частот имеет вид:
x
i
0 1 2 3 4 5
n
i
3 6 5 3 2 1
w
i
0,15 0,3 0,25 0,15 0,1 0,05
Если исследуется некоторый непрерывный признак, то ва-
риационный ряд может состоять из очень большого количества
чисел. В этом случае удобнее использовать группированную вы-
борку. Для ее получения интервал, в котором заключены все на-
3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА но представляла пропорции генеральной совокупности, то есть
была репрезентативной (представительной). Учитывая закон
3.1. Основные понятия математической статистики больших чисел, можно утверждать, что это условие выполняется,
если каждый объект выбран случайно, причем для любого объекта
Математическая статистика занимается установлением за-
вероятность попасть в выборку одинакова.
кономерностей, которым подчинены массовые случайные явле-
ния, на основе обработки статистических данных, полученных в
1.1. Первичная обработка результатов
результате наблюдений. Двумя основными задачами математиче-
Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в
ской статистики являются:
выборке значение х1 п1 раз, х2 – п2 раз, …, хк – пк раз, причем
– определение способов сбора и группировки этих статисти- k
ческих данных;
– разработка методов анализа полученных данных в зависи-
∑n
i =1
k = n, где п – объем выборки. Тогда наблюдаемые значения
мости от целей исследования, к которым относятся: случайной величины х1, х2, …, хк называют вариантами, а п1, п2, …,
а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неиз- пк – частотами. Если разделить каждую частоту на объем выбор-
вестной функции распределения; оценка параметров распределе- ni
ния, вид которого известен; оценка зависимости от других слу- ки, то получим относительные частоты wi = . Последова-
чайных величин и т.д.; n
б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного рас- тельность вариант, записанных в порядке возрастания, называют
пределения или о значениях параметров известного распределения. вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им
Для решения этих задач необходимо выбрать из большой частот или относительных частот – статистическим рядом:
совокупности однородных объектов ограниченное количество xi x1 x2 … xk
объектов, по результатам изучения которых можно сделать про- ni n1 n2 … nk
гноз относительно исследуемого признака этих объектов. wi w1 w2 … wk
Определим основные понятия математической статистики.
Генеральная совокупность – все множество имеющихся Пример 1. При проведении 20 серий из 10 бросков играль-
объектов. ной кости число выпадений шести очков оказалось равным 1, 1, 4,
Выборка – набор объектов, случайно отобранных из гене- 0, 1, 2, 1, 2, 2, 0, 5, 3, 3, 1, 0, 2, 2, 3, 4, 1. Составим вариационный
ральной совокупности. ряд: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Статистический ряд для абсолютных и относи-
Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – тельных частот имеет вид:
число объектов в рассматриваемой совокупности.
Виды выборки: xi 0 1 2 3 4 5
Повторная – каждый отобранный объект перед выбором ni 3 6 5 3 2 1
следующего возвращается в генеральную совокупность; wi 0,15 0,3 0,25 0,15 0,1 0,05
Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокуп-
ность не возвращается. Если исследуется некоторый непрерывный признак, то ва-
З а м е ч а н и е . Для того, чтобы по исследованию выборки риационный ряд может состоять из очень большого количества
можно было сделать выводы о поведении интересующего нас при- чисел. В этом случае удобнее использовать группированную вы-
знака генеральной совокупности, нужно, чтобы выборка правиль- борку. Для ее получения интервал, в котором заключены все на-
75 76
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
