ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
73
Из равенства
2
10,95
pq
n
−=
ε
находим:
2
0, 05 0,95
9500
0,05 0,05 0,0001
pq
n
⋅
== =
⋅ε ⋅
.
Замечание. Оценки необходимого числа наблюдений,
получаемые при применении теоремы Бернулли (или Чебышева),
очень преувеличены. Существуют более точные оценки, предло-
женные Бернштейном и Хинчиным, но требующие более сложно-
го математического аппарата. Чтобы избежать преувеличения оце-
нок, иногда пользуются формулой Лапласа:
0
2
mn
Pp
npq
⎛⎞
⎛⎞
−<ε≈Φε
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
.
Недостатком этой формулы является отсутствие оценки до-
пускаемой погрешности.
5. Теорема Пуассона
В теореме Бернулли устанавливается связь между относи-
тельной частотой появлений события и его вероятностью p при
условии, что последняя от опыта к опыту не изменяется. Теорема
Пуассона устанавливает связь между относительной частотой по-
явления события и некоторой постоянной величиной при пере-
менных условиях опыта.
Теорема Пуассона. Если производится n независимых опы-
тов и вероятность появления события А в i-м опыте равна p
i
, то
при увеличении n относительная частота появления события m/n
сходится по вероятности к среднему арифметическому значению
вероятностей p
i
, т. е.
1
lim 1.
n
i
i
n
p
m
nn
ε
=
→∞
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
−<=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∑
(9)
74
Для конечного n будем иметь:
12 1
22
...
1.
n
ii
ni
р
q
pp p
m
P
nn n
ε
ε
=
⎛+++⎞
−<≥−
⎜⎟
⎝⎠
∑
(10)
Каким бы ни было ε, при n→∞ величина дроби
0
22
1
→
∑
=
ε
n
qр
n
i
ii
, а вероятность
12
...
1.
n
pp p
m
P
nn
ε
⎛+++⎞
−
<→
⎜⎟
⎝⎠
Пример 24. Одинаковые партии изделий размешены в 11
ящиках, причем доли первосортных изделий в них составляют 0,0;
0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0.8; 0,9; 1,0. Из каждого ящика нау-
дачу извлечено по одному изделию. Определить вероятность того,
что доля первосортных изделий в выборке будет отличаться от
средней арифметической доли менее, чем на 0,2.
Решение. По условию задачи: n=11; p
1
=0,0; p
2
=0,1; p
3
=0,2;
p
4
=0,3; p
5
=0,4; р
6
=0,5; p
7
=0,6; p
8
=0,7; p
9
=0,8; p
10
=0,9; p
11
=1,0; ε=0,2.
Применяя формулу (10), получим
12 1
22
...
0, 2 1
n
ii
ni
р
q
pp p
m
P
nn
n
ε
=
⎛+++ ⎞
−<≥−
⎜⎟
⎝⎠
∑
=
1-0,00,090,160,210,240,250,240,210,16
0,09 0,0) /(121 0,04) 1-1,165 / 4,84 0,64
=
+++++++++
++ ⋅ = =
Из равенства Для конечного n будем иметь:
pq n
1 − 2 = 0,95
nε ⎛ m p1 + p2 + ... + pn ⎞ ∑ рi qi
находим: P⎜ − < ε ⎟ ≥ 1− 2 2 .
i =1
(10)
⎝ n n ⎠ nε
pq 0, 05 ⋅ 0,95
n= = = 9500 . Каким бы ни было ε, при n→∞ величина дроби
0, 05 ⋅ ε 2
0, 05 ⋅ 0, 0001 n
З а м е ч а н и е . Оценки необходимого числа наблюдений, ∑рq i i
получаемые при применении теоремы Бернулли (или Чебышева), i =1
→ 0 , а вероятность
очень преувеличены. Существуют более точные оценки, предло- n 2ε 2
женные Бернштейном и Хинчиным, но требующие более сложно- ⎛ m p + p2 + ... + pn ⎞
го математического аппарата. Чтобы избежать преувеличения оце- P⎜ − 1 < ε ⎟ → 1.
нок, иногда пользуются формулой Лапласа: ⎝ n n ⎠
Пример 24. Одинаковые партии изделий размешены в 11
⎛m ⎞ ⎛ n ⎞
P ⎜ − p < ε ⎟ ≈ 2Φ 0 ⎜⎜ ε ⎟⎟ . ящиках, причем доли первосортных изделий в них составляют 0,0;
⎝ n ⎠ ⎝ pq ⎠ 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0.8; 0,9; 1,0. Из каждого ящика нау-
Недостатком этой формулы является отсутствие оценки до- дачу извлечено по одному изделию. Определить вероятность того,
пускаемой погрешности. что доля первосортных изделий в выборке будет отличаться от
средней арифметической доли менее, чем на 0,2.
5. Теорема Пуассона Р е ш е н и е . По условию задачи: n=11; p1=0,0; p2=0,1; p3=0,2;
В теореме Бернулли устанавливается связь между относи- p4=0,3; p5=0,4; р6=0,5; p7=0,6; p8=0,7; p9=0,8; p10=0,9; p11=1,0; ε=0,2.
тельной частотой появлений события и его вероятностью p при Применяя формулу (10), получим
n
условии, что последняя от опыта к опыту не изменяется. Теорема
Пуассона устанавливает связь между относительной частотой по- ⎛ m p1 + p2 + ... + pn ⎞ ∑рq i i
явления события и некоторой постоянной величиной при пере- P⎜ − < 0, 2 ⎟ ≥ 1 − 2 2 =
i =1
⎝ n n ⎠ nε
менных условиях опыта.
Теорема Пуассона. Если производится n независимых опы- = 1- 0, 0 + 0, 09 + 0,16 + 0, 21 + 0, 24 + 0, 25 + 0, 24 + 0, 21 + 0,16 +
тов и вероятность появления события А в i-м опыте равна pi, то + 0, 09 + 0, 0) /(121⋅ 0, 04) = 1-1,165 / 4,84 = 0, 64
при увеличении n относительная частота появления события m/n
сходится по вероятности к среднему арифметическому значению
вероятностей pi, т. е.
⎡ n
⎤
⎢m ∑ pi ⎥
lim ⎢ − i =1 < ε ⎥ = 1. (9)
n →∞ ⎢ n n ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
73 74
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
