Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 36 стр.

      Откуда, воспользовавшись таблицей интеграла вероятно-              Каким бы малым ни было число ε при n→∞ величина дроби
стей, получим
                                                                                              pq/(n·ε2)→0, а
                         ε√n/σ≥1,645
                                                                                             P(|m/n–p|<ε)→1.
или
                      √n≥6,58, т.е. n≥49.                                 Из теоремы Бернулли следует, что при достаточно большом
      Пример 21. Дисперсия случайной величины D(X)=5. Произ-        числе испытаний относительная частота т/п появления события
ведено 100 независимых опытов, по которым вычислено X . Вме-        практически утрачивает свой случайный характер, приближаясь к
сто неизвестного значения математического ожидания а принята        постоянной величине p – вероятности данного события. В этом и
                                                                    состоит принцип практической уверенности.
X . Определить максимальную величину ошибки, допускаемую                  Пример 22. С целью установления доли брака было прове-
при этом, с вероятною не менее 0,8.                                 рено по схеме возвратной выборки 1000 единиц продукции. Како-
     Р е ш е н и е . По условию n=100, Р(| X –а|<ε)≥0,8; ε=? При-   ва вероятность того, что установленная этой выборкой доля брака
меняем формулу (6):                                                 по абсолютной величине будет отличаться от доли брака по всей
                  Р(| X -а|<ε)≥1–D(X)/(n·ε2).                       партии не более, чем на 0,01, если известно, что в среднем на каж-
     Из соотношения 1–D(X)/(n·ε2)=0,8 определяем ε:                 дые 10 000 изделий приходится 500 бракованных?
            ε2=D(X)/(0,2·n)=5/(0,2·100)=0,25; ε=0,5.                      Р е ш е н и е . По условию задачи число независимых испы-
                                                                    таний n=1000.
      4. Теорема Бернулли                                                 p=500/1000=0,05; q=1–p=0,95; ε=0,01. P(|m/n–p|<0,01?
      Пусть произведено п независимых испытаний, в каждом из              Применяя формулу (8), получим
которых вероятность появления некоторого события А постоянна
                                                                          P(|m/n–p|<0,01)≥1–pq/(n·ε2)=1–0,05·0,95/(1000·0,0001)=0,527.
и равна Р.
      Теорема Бернулли. При неограниченном возрастании чис-               Итак, с вероятностью не менее 0,527 можно ожидать, что
ла независимых испытаний п относительная частота m/n появ-          выборочная доля брака (относительная частота появления брака)
ления события А сходится по вероятности к вероятности p со-         будет отличаться от доли брака во всей продукции (от вероятно-
бытия А, т. е.                                                      сти брака) не более чем на 0,01.
                                                                          Пример 23. При штамповке деталей вероятность брака со-
                     lim P( m / n − p 〈ε ) = 1,
                     n →∞                                           ставляет 0,05. Сколько нужно проверить деталей, чтобы с вероят-
где ε – сколь угодно малое положительное число. Для конечного n     ностью не менее 0,95 можно было ожидать, что относительная
при условии, что                                                    частота бракованных изделий будет отличаться от вероятности
                             ⎛ m ⎞ p⋅q                              брака менее, чем на 0,01?
                            D⎜ ⎟ =     ,                                  Р е ш е н и е . По условию задачи
                             ⎝n⎠    n
                                                                                                          ⎛m           ⎞
неравенство Чебышева для случайной величины m/n будет иметь          p = 0, 05 ; q = 0,95 ; ε = 0, 01 ; P ⎜ − p < 0, 01⎟ ≥ 0,95 ; n = ? .
вид:                                                                                                      ⎝ n          ⎠
                  P(|m/n–p|<ε)≥1–pq/(n·ε2).             (8)



                                71                                                                   72