Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 34 стр.

бытия. При «практически достоверных» событиях, вероятность              2. Неравенства Маркова и Чебышева
которых близка к единице, также встает вопрос о степени этой            Доказательство закона больших чисел основано на неравен-
близости. Вероятность, которой можно пренебречь в исследова-      стве Чебышева. Неравенство Маркова в литературе иногда назы-
нии, называется уровнем значимости.                               вается леммой Маркова или леммой Чебышева, так как оно явля-
      Принцип практической уверенности: «Если какое-нибудь        ется частным случаем неравенства Чебышева.
событие имеет малую вероятность (например, р<0,01), то при              Лемма Маркова. Если случайная величина Х не принимает
единичном испытании можно практически считать, что это собы-      отрицательных значений, то для любого положительного числа α
тие не произойдет, а если событие имеет вероятность, близкую к    справедливо неравенство:
единице (р>0,99), то практически при единичном испытании                                    P(Х ≥ α) ≤ М(Х)/α.               (1)
можно считать, что событие произойдет наверняка».                       События Х < α и Х ≥ α – противоположные, поэтому, ис-
      Таким образом, исследователя всегда должен интересо-        пользуя формулу (1), получаем
вать вопрос, в каком случае можно гарантировать, что вероят-                        Р(Х<α) = 1–Р(Х ≥ α )≥ 1 – М(Х)/α.        (2)
ность события будет как угодно близка к 0 или как угодно близка         Выражения (1–2) справедливы для дискретных и непрерыв-
к 1. Основной закономерностью случайных массовых явлений яв-      ных случайных величин.
ляется свойство устойчивости средних результатов.                       Пример 17. Дана случайная величина X:
      В широком смысле слова под «законом больших чисел» по-
нимают свойство устойчивости случайных массовых явлений. Это         X          2         4        6         8         10        12
свойство состоит в том, что средний результат действия большого      P         0,1       0,2      0,25      0,15      0,15      0,15
числа случайных явлений практически перестает быть случайным и
может быть предсказан с достаточной определенностью. Оно вы-            Пользуясь неравенством Маркова, оценить вероятность то-
текает из того, что индивидуальные особенности отдельных слу-     го, что случайная величина X примет значение, меньшее 11?
чайных явлений, их отклонения от среднего результата в массе            Р е ш е н и е . Исходя из условия будем рассуждать так:
своей взаимно погашаются, выравниваются.                           (Х<11)=Р(X=2)+Р(Х=4)+Р(Х=6)+Р(Х=8)+Р(Х=10)=0,1+0,2+0,25+
      В узком смысле слова под «законом больших чисел» пони-                                 +0,15+0,15=0,85.
мают совокупность теорем, в которых устанавливается факт при-           Используя неравенство Маркова (2), получаем
ближения средних характеристик к некоторым постоянным вели-           Р(Х<11)≥1–М(Х)/11=1 – (2·0,1+4·0,2+6·0,25+8·0,15+10·0,15+
чинам в результате большого числа наблюдений.                       +12·0,15)/11=1–(0,2+0,8+1,5+1,2+1,8)/11=1–7/11=1–0,636=0,364.
      Различные формы закона больших чисел дают возможность                                  Р(Х<11) ≥ 0,364.
уверенно оперировать со случайными величинами, осуществлять             Пример 18. Сумма всех вкладов в некоторой сберегательной
научные прогнозы случайных явлений и оценивать точность этих      кассе составляет 20 000 000 руб., а вероятность того, то случайно
прогнозов.                                                        взятый вклад меньше 100 000 равна 0,8. Каково число вкладчиков
      Формулировка закона больших чисел, развитие идеи и ме-      сберегательной кассы?
тодов доказательства теорем, относящихся к этому закону, при-           Р е ш е н и е . Пусть X – величина случайно взятого вклада, а
надлежат русским ученым: П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову и A.M.       n – число всех вкладчиков. Тогда из условия задачи следует, что
Ляпунову. Приведенные здесь формы закона больших чисел да-        М(Х)=20 000 000/n; Р(X<100 000)=0,8, и по неравенству Маркова
ются без доказательства.                                          Р(X<100 000)≥1–М(Х)/100 000.
                                                                        Т. е. 0,8≥1–20 000 000/(n·100 000); 20 000 000/(n·100 000)≥0,2;
                                                                  200≥n·0,2; n≤1000.
                              67                                                                   68