Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 32 стр.

      1. Вероятность появления события одна и та же для любых       гом участке. Следовательно, для решения задачи можно использо-
двух интервалов равной длины.                                       вать распределение Пуассона.
      2. Вероятность того, что событие появится в короткий ин-            Р е ш е н и е . Предположим, мы выяснили, что количество
тервал времени (или пространства), пропорциональна величине         дефектов спустя месяц после асфальтирования в среднем равно
интервала.                                                          двум на километр. Найдем вероятность того, что на определенном
      3. В очень коротком интервале вероятность того, что два       участке шоссе длиной в три километра мы не найдем ни одного
события появятся, близка к нулю.                                    дефекта спустя месяц после асфальтирования. Поскольку нас ин-
      4. Вероятность того, что любое число событий появится в       тересует интервал длиной в три километра, то λ=(2 дефекта/кило-
интервале, не зависит от начала интервала.                          метр)·(3 километра)=6. Это – ожидаемое число дефектов на трех-
      5. Появление или непоявление события в определенном ин-       километровом участке шоссе. Отсюда, используя формулу (10)
тервале не зависит от появления или непоявления события в лю-       или таблицы распределения Пуассона с λ=6 и т=0, получаем, что
бом другом интервале.                                               вероятность отсутствия дефектов на трех километрах дороги равна
      Пример 12. Предположим, что нас интересует число инкас-       0,0025. Результат говорит о том, что отсутствие дефектов на изу-
саторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15        чаемом участке дороги весьма маловероятно. Вероятность того,
минут. Если мы предположим, что вероятность прибытия автомо-        что хотя бы один дефект появится на трех километрах вновь ас-
биля одинакова в любые два периода времени равной длины и что       фальтированной дороги равна 1–0,0025=0,9975.
прибытие или неприбытие автомобиля в любой период времени не              Рассмотрим пример, в котором вероятности будут вычисле-
зависит от прибытия или неприбытия в любой другой период вре-
                                                                    ны точно по формуле Бернулли (1) и приближенно по формуле
мени, то последовательность прибытия инкассаторов в банк может
                                                                    Пуассона (10).
быть описана распределением Пуассона.
                                                                          Пример 14. Проведено 25 независимых испытаний с веро-
      Р е ш е н и е . Анализ предыдущих данных показал, что сред-
нее число инкассаторов, прибывающих в 15 минутный период,           ятностью появления события А в каждом из них 0,01. Построить
равно 10, тогда при λ=10 получаем: Р(т)=λm·e–λ/m!=10m·e–10/m! при   ряд распределения для случайной величины Х=т – числа появле-
т=0, 1, 2, ...                                                      ний события А. Вероятность Рn,m вычислить двумя способами: по
      Если мы хотим узнать вероятность прибытия пяти инкасса-       формуле Бернулли и по формуле Пуассона. Полученные результа-
торов в течение 15 минут, то при m = 5 получим:                     ты сравнить и оценить погрешности приближенной формулы. По
                                                                    условию п=25; р=0,01; q=0,999. Вычислим Рn,m и сведем их в таб-
                               105 ⋅ e −10
                        P(5) =             = 0, 0378.               лицу 14.
                                  5!
      Расчет вероятностей распределения Пуассона легче осуще-                                                            Таблица 14
ствлять, пользуясь специальными таблицами вероятностей рас-                            Сравнение вероятностей,
пределения Пуассона. В них содержатся значения вероятностей                   полученных по формулам Бернулли и Пуассона
при заданных т и λ.
      Пример 13. Предположим, что нас интересует число дефек-       m                         0     1     2     3     4     5     6
тов, появившихся на определенном участке шоссе через месяц по-      Рn,m=Cnmpmqn–m          0,778 0,196 0,024 0,002 0,000 0,000 0,000
сле его асфальтирования. Мы предполагаем, что вероятность по-                 λm            0,779 0,195 0,022 0,001 0,000 0,000 0,000
явления дефектов одна и та же на любых двух участках равной         Pn ,m =        ⋅ e −λ
длины и что появление или непоявление дефектов на любом про-
                                                                              m!
межутке шоссе не зависит от появления дефектов на любом дру-        |∆|                     0,001 0,001 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000

                               63                                                                       64