Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

61
При m = l (см. рис. 2) вероятность достигает максимального
значения. Вероятнейшей частотой наступления события назы-
вается та частота, при которой вероятность достигает своего наи-
большего значения и обозначается m
0
. Для определения наиверо-
ятнейшего числа используем формулу:
пp–q≤m
0
≤np+p. (9)
В этом неравенстве т
0
может быть только целым числом.
Если пр – целое число, то m
0
=пр.
Пример 11. Вероятность того, что выписанный продавцом
чек будет оплачен, равна 0,9. Какое наивероятнейшее число чеков
будет оплачено, если выписано 40 чеков?
Решение. Находим произведение пр = 40·0,9 = 36 (целое
число), значит, т
0
= 36. Найдем т
0
по формуле (9) 40·0,9–
0,1 ≤ т
0
≤ 40·0,9+0,9; 35,9 ≤ m
0
≥ 36,9. Этому двойному неравенст-
ву удовлетворяет целое число т
0
= 36.
5. Распределение Пуассона
Распределение Пуассона (закон распределения редких собы-
тий) часто используется, когда мы имеем дело с числом событий,
появляющихся в промежутке времени или пространства (число
машин, прибывших на автомойку в течение часа, число дефектов
на новом отрезке шоссе длиной в 10 километров, число мест утеч-
ки воды на 100 километров водопровода, число остановок станков
в неделю, число дорожных происшествий).
Если вероятность появления события А в п отдельных неза-
висимых испытаниях очень мала (р<q), то применяется формула
Пуассона:
,
!
,
λ
λ
−
⋅≈ e
m
P
m
nm
(10)
где λ = пр; п – число независимых испытаний с постоянной ма-
лой вероятностью р; е – основание натуральных логарифмов
(е = 2,71828); т – число появлений события (т = 0, 1, 2, 3, ...).
При помощи формулы (10) можно записать закон распреде-
ления Пуассона. Его можно написать в виде ряда распределения
(табл. 13), если, придавая m целые неотрицательные значения
т = 0, 1, 2, ..., n, вычислить соответствующие им вероятности Р
n,т
.
62
Таблица 13
Закон распределения Пуассона
т
0 1 2 3 …
k
…
n
Р
n,т
e
–λ
λ·e
–λ
λ
2
·e
–λ
/2! λ
3
·e
–λ
/3!
…
λ
k
·e
–λ
/k!
…
λ
n
·e
–λ
/n!
Закон распределения Пуассона можно записать в виде
функции распределения: λ
k
·e
–λ
/k!.
F(X)=P(m<x)=
∑
〈xm
Р
n,т
=
∑
〈xm
λ
m
/k! e
–λ
,
,
!
)(
λ
λ
−
〈
⋅=
∑
e
m
XF
xm
m
(11)
где знак
∑
〈 xm
означает сумму вероятностей Р
п,т
для всех т, мень-
ших п.
Применяя формулу (11), можно определить вероятность по-
явления события хотя бы один раз в п независимых испытаниях.
Поскольку вероятности Р
п,т≥1
и Р
п,0
есть вероятности противопо-
ложных событий, то
.1
!0
11
0
0,1,
λλ
λ
−−
≥
−=⋅−=−= eePP
nmn
(12)
По формуле (12) вычисляются вероятности появления собы-
тия хотя бы один раз в п независимых испытаниях, если вероят-
ность появления события в отдельных испытаниях постоянна и
очень мала, а число испытаний достаточно велико (n≥20), т. е. при
условии применимости формулы Пуассона (10).
Математическое ожидание и дисперсия случайной величи-
ны, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны па-
раметру λ, который определяет этот закон, т. е.
M(Х)=D(Х)=λ. (13)
Формула (13) устанавливает важный теоретико-вероятност-
ный смысл параметра λ. Последовательность событий, которые
наступают в случайные моменты времени, называется потоком
событий (например вызов на АТС). При этом должны выполнять-
ся следующие условия. 
      При m = l (см. рис. 2) вероятность достигает максимального                                                                                      Таблица 13
значения. Вероятнейшей частотой наступления события назы-
                                                                                          Закон распределения Пуассона
вается та частота, при которой вероятность достигает своего наи-
большего значения и обозначается m0. Для определения наиверо-           т         0        1        2            3              …         k       …        n
ятнейшего числа используем формулу:
                                                                       Рn,т      e–λ     λ·e–λ λ2·e–λ/2! λ3·e–λ/3! … λk·e–λ/k! … λn·e–λ/n!
                            пp–q≤m0≤np+p.                      (9)
      В этом неравенстве т0 может быть только целым числом.                Закон распределения Пуассона можно записать в виде
Если пр – целое число, то m0=пр.                                      функции распределения: λk·e–λ/k!.
      Пример 11. Вероятность того, что выписанный продавцом
чек будет оплачен, равна 0,9. Какое наивероятнейшее число чеков
                                                                                   F(X)=P(m

Страницы