ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
57
В табл. 9 представлены биномиальные вероятности случай-
ной величины X для примера 7, рассчитанные при помощи форму-
лы (1).
Таблица 9
Биномиальное распределение X – числа гербов,
появляющихся при четырех подбрасываниях монеты
X
m=
0 1 2 3 4
P(x)=P
4,m
0,0625 0,2500 0,375 0,2500 0,0625
С увеличением числа испытаний расчет вероятностей по
формуле (1) становится все более громоздким. Существуют спе-
циальные таблицы, в которых табулированы значения вероятно-
стей биномиального распределения для различных п и р. Иногда в
литературе предлагаются таблицы, в которых табулированы зна-
чения интегральной функции 1–F(x)=Р(Х≥х). Табл. 10 воспроиз-
водит значения функции при п=4. Найдем кумулятивную вероят-
ность, которой соответствует распределение, представленное в
табл. 9. Заметим, что для p=0,5
∑∑
==
=−=−=−==
2
0
1
0
,3750,03125,06875,0)1()2()()()2(
ii
FFiPiPXP
т. е. в общем виде
Р(Х)=F (x)–F(x–1). (3)
Вероятность, равная 0,3750, корреспондирует с вероятно-
стью при т=2 в табл. 9.
Таблица 10
Фрагмент таблицы F(x)=Р(Х≤х) биномиального распределения
т 0 1 2 3 4
()
()
PX x
Fx
<=
=
0,06250 0,3125=
=0,0625+
+0,2500
0,687=
=0,3125+
+0,375
0,9375=
=0,6875+
+0,2500
1,0000=
=0,9375+
+0,0625
Для случайной величины Y (пример 8) найдем вероятности
того, что предпочтут личный транспорт: а) 5 человек из 8; b) не
58
более 5 человек; c) не менее 5 человек. По условию р=0,3. Значит,
надо определить P(Х=5), Р(Х≤5), Р(Х≥5).
Таблица 11
Фрагмент таблиц ряда
и функции биномиального распределения
Х=т Р(Х=т)=
=С
n
m
р
m
q
п-m
Р(Х≤m)=F
1
(x) Р(Х<х)=F(x) Р(Х≥x)=
=1–F(x)
0
1
2
3
4
0,058
0,198
0,296
0,254
0,136
0,058
0,2560,552
0,806
0,942
0
0,058
0,256
0,552
0,806
1
0,942
0,745
0,448
0.194
5 0,047 0,989 0,942 0,058
И тогда P(X=5)=0,047; Р(Х≤5)=0,989; P(X≥5)=0,058.
4. Математическое ожидание, дисперсия и график бино-
миального распределения
Пусть случайная величина X – число т наступления некото-
рого события в n независимых испытаниях. Общее число X появ-
лений этого события в испытаниях X
i
=т=Х
1
+Х
2
+...+Х
п
, где X
i
–
число появлений события в i-ом испытании (i=1, 2, ..., п). Так как
вероятность наступления события в каждом испытании постоянна
и равна р (q – вероятность ненаступления события), то для каждой
случайной величины X
i
имеем распределение вероятностей:
x
0 1
p q p
Следовательно, М(Х
1
)=М(Х
2
)=...=М(Х
n
); М(Х
i
)=0·q+1·p=p.
Из свойств математического ожидания получим:
∑
=
==+++=
n
i
in
прXMXMXMXMXM
1
21
.)()(...)()()(
Математическое ожидание случайной величины X (частоты
появления события в п независимых испытаниях), подчиняющей-
В табл. 9 представлены биномиальные вероятности случай- более 5 человек; c) не менее 5 человек. По условию р=0,3. Значит,
ной величины X для примера 7, рассчитанные при помощи форму- надо определить P(Х=5), Р(Х≤5), Р(Х≥5).
лы (1).
Таблица 11
Таблица 9
Фрагмент таблиц ряда
Биномиальное распределение X – числа гербов,
и функции биномиального распределения
появляющихся при четырех подбрасываниях монеты
Х=т Р(Х=т)= Р(Х≤m)=F1(x) Р(Х<х)=F(x) Р(Х≥x)=
X =m 0 1 2 3 4 =Сnm рmqп-m =1–F(x)
P(x)=P4,m 0,0625 0,2500 0,375 0,2500 0,0625 0 0,058 0,058 0 1
1 0,198 0,2560,552 0,058 0,942
С увеличением числа испытаний расчет вероятностей по 2 0,296 0,806 0,256 0,745
формуле (1) становится все более громоздким. Существуют спе- 3 0,254 0,942 0,552 0,448
циальные таблицы, в которых табулированы значения вероятно- 4 0,136 0,806 0.194
стей биномиального распределения для различных п и р. Иногда в 5 0,047 0,989 0,942 0,058
литературе предлагаются таблицы, в которых табулированы зна-
чения интегральной функции 1–F(x)=Р(Х≥х). Табл. 10 воспроиз-
И тогда P(X=5)=0,047; Р(Х≤5)=0,989; P(X≥5)=0,058.
водит значения функции при п=4. Найдем кумулятивную вероят-
ность, которой соответствует распределение, представленное в
4. Математическое ожидание, дисперсия и график бино-
табл. 9. Заметим, что для p=0,5
2 1
миального распределения
P ( X = 2) = ∑ P (i ) − ∑ P (i ) = F (2) − F (1) = 0,6875 − 0,3125 = 0,3750, Пусть случайная величина X – число т наступления некото-
i =0 i =0 рого события в n независимых испытаниях. Общее число X появ-
т. е. в общем виде лений этого события в испытаниях Xi=т=Х1+Х2+...+Хп, где Xi –
Р(Х)=F (x)–F(x–1). (3) число появлений события в i-ом испытании (i=1, 2, ..., п). Так как
Вероятность, равная 0,3750, корреспондирует с вероятно- вероятность наступления события в каждом испытании постоянна
стью при т=2 в табл. 9. и равна р (q – вероятность ненаступления события), то для каждой
случайной величины Xi имеем распределение вероятностей:
Таблица 10
Фрагмент таблицы F(x)=Р(Х≤х) биномиального распределения x 0 1
p q p
т 0 1 2 3 4
P( X < x) = 0,06250 0,3125= 0,687= 0,9375= 1,0000= Следовательно, М(Х1)=М(Х2)=...=М(Хn); М(Хi)=0·q+1·p=p.
=0,0625+ =0,3125+ =0,6875+ =0,9375+ Из свойств математического ожидания получим:
= F ( x) +0,2500 +0,375 +0,2500 +0,0625 n
M ( X ) = M ( X 1 ) + M ( X 2 ) + ... + M ( X n ) = ∑ M ( X i ) = пр.
Для случайной величины Y (пример 8) найдем вероятности i =1
того, что предпочтут личный транспорт: а) 5 человек из 8; b) не Математическое ожидание случайной величины X (частоты
появления события в п независимых испытаниях), подчиняющей-
57 58
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
