Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 28 стр.

      При четырех подбрасываниях монеты случайная величина                3. Поскольку существует Сnm комбинаций и каждая комби-
X, определяющая число выпадений герба, принимает возможные          нация имеет вероятность рmqn-m, то вероятность т успехов в n ис-
значения Xi = 0; 1; 2; 3; 8. Рассмотрим определенное событие, ко-   пытаниях есть результат двух описанных выше действий. Будем
гда X=2. Это событие состоит в том, что при четырех подбрасыва-     использовать символ Рп,т для обозначения вероятности Р(Х=т) в n
ниях монеты 2 раза выпадет герб. Определим вероятность Р(Х=2).      испытаниях с вероятностью успеха в каждом отдельном испыта-
Для этого подсчитаем, сколькими способами может осуществить-        нии р:
ся данное событие.                                                                                                      n!
      При четырех бросаниях монеты герб появится два раза в од-           P (n = m) = Pn , m = Cnm p 2 q n − m =               ⋅ p m ⋅ q n−m ,    (1)
                                                                                                                   m !(n − m)!
ной из следующих шести последовательностей: ГГЦЦ, ГЦГЦ,
ГЦЦГ, ЦГГЦ, ЦГЦГ, ЦЦГГ. Исходя из независимости четырех             где q = 1 − p , n – число испытаний, m – число успешных испыта-
испытаний вероятность определенной последовательности, ска-         ний, а формула (1) называется формулой Бернулли.
жем, ЦЦГГ, есть ppqq. Порядок появления цифры или герба не
влияет на вероятность. Вероятность р2q2 – вероятность для любой          3. Биномиальный закон распределения
из шести перечисленных комбинаций. Поскольку все шесть воз-              В формуле (1) т может принимать значения от 0 до n. Под-
можных комбинаций ведут к событию Х=2, то умножим результат         ставим m= 0; 1; 2; ...; n в формулу (1):
на шесть и получим 6р2q2. Для идеальной монеты р=q=0,5; отсюда                         (q + p ) n = Cn0 q n + Cn1 pq n −1 + Cn2 p 2 q n − 2 +
P(X=2)=6(0,5)4=0,375. Точно так же можно вычислить другие ве-                                                                                     (2)
роятности Р(Х=0), Р(Х=1), Р(Х=3), Р(Х=4). Удобнее обобщить                             + K + Cnk p k q n − k + K + Cnn p n .
процедуру вычисления вероятности появлений некоторого собы-              Так как ( q + p ) = 1 , то Pn ,0 + Pn ,1 + K + Pn ,n = 1 (табл. 8).
тия точно т раз в n последовательных испытаниях, удовлетво-
ряющую условиям повторных испытаний, при помощи специаль-                                                                                   Таблица 8
ной формулы. Отметим следующее.
      1. Вероятность любой заданной последовательности, в кото-                        Биномиальное распределение
рой событие появляется т раз и в n испытаниях с вероятностью          Число успехов m                           Вероятность Pn ,m
успеха в каждом отдельном испытании р и с вероятностью неус-
пеха q, равна pmqn-m. Заметим, что для опыта с подбрасыванием                  0                                      Cn0 p 0 q n −0
монеты при р=q=0,5, n=4 и т=2, получим                                         1
                     P(X=2)=(0,5)2(0,5)2=(0,5)4.
                                                                                                                      Cn1 p1q n −1
      2. Число различных комбинаций в испытаниях, в результате                 2                                      Cn2 p 2 q n −2
которых наступит точно т успехов, равно числу сочетаний из n                   3
элементов по т элементов в каждом                                                                                     Cn3 p 3 q n −3
                                    n!                                        …                                             …
                       Cnm =               .                                  k
                               m !(n − m)!                                                                            C p k q n−k
                                                                                                                        k
                                                                                                                        n

      Для примера с подбрасыванием монеты Сnm = 4·3/(1·2) = 6.                …                                             …
Этот результат совпадает с полученным путем непосредственного                 n                                       C p n q n−n
                                                                                                                        n
                                                                                                                        n
подсчета.
                                                                                                                         1
                                55                                                                         56