Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 27 стр.

    M ( X 2 ) = 50002 ⋅ 0, 2 + 60002 ⋅ 0,3 + 70002 ⋅ 0, 2 + 80002 +      ность неуспеха, подчиняется закону биномиального распределе-
                                                                         ния с параметрами n и р.
    +90002 ⋅ 0,1 = 4650000.                                                    В примере 1 п=4, р=0,5 – параметры биномиального рас-
                        M ( X ) = 6700 .                                 пределения случайной величины X. Последовательные подбрасы-
        Отсюда дисперсия                                                 вания монеты – независимые эксперименты; исходы – «цифра»
                                                                         или «герб» (успех – неуспех) и вероятности их выпадения посто-
  D ( X ) = M ( X 2 ) − ( M ( X )) 2 = 4 650 000 − 67002 = 1 610 000 .
                                                                         янны от испытания к испытанию.
     Используя формулу (13), вычислим дисперсию ожидаемого                     В примере 2 п=8, р=0,3 – параметры биномиального рас-
дохода:                                                                  пределения случайной величины Y. Заметим, что случайная вы-
           D( X ) = σ2 = 22 ⋅1 610 000 = 6 440 000 .                     борка из большой генеральной совокупности предполагает неза-
     Среднее квадратическое отклонение дохода равно                      висимость испытаний. Мы полагаем, что число людей в городе
                  σ = 6 440 000 = 253 772 .                              (генеральная совокупность) намного больше, чем число испыта-
                                                                         ний, и случайный отбор небольшого числа людей не влияет на ту
                                                                         часть оставшихся горожан, которые предпочитают добираться до
     2.2.9. Законы распределения дискретных случайных ве-                работы на личном транспорте (события «предпочитает личный
личин                                                                    транспорт» для любых выбранных горожан – независимы). Если в
        1. Схема повторных испытаний. Биномиальное распреде-             генеральной совокупности только 10 человек, трое из которых
ление                                                                    предпочитают личный транспорт, то ситуация меняется. Вероят-
      Пример 7. Монета подбрасывается 4 раза, пусть X – число            ность того, что следующий отобранный предпочтет также личный
появившихся гербов.                                                      транспорт, составит уже только 2/9≈0,22 или 3/9≈0,33 в зависимо-
      Пример 8. Известно, что в определенном городе 30 % горо-           сти от того, предпочитает ли отобранный человек личный транс-
жан предпочитают добираться на работу личным автотранспор-               порт или нет. В этом случае условия 2 и 3 испытаний Бернулли
том. Случайно выбраны 8 человек. Пусть Y – число людей в вы-             будут нарушены, и Y не будет биномиальной случайной величи-
борке, предпочитающих личный автотранспорт.                              ной. Чем больше объем генеральной совокупности в сравнении с
      Пример 9. Известно, что 15 % деталей, произведенных ав-            выборкой, тем менее серьезно нарушение условий 2 и 3. На прак-
томатом, бракованные. В порядке случайного отбора взято 12 де-           тике пользуются правилом: если N/п > 10 (N – объем генеральной
талей. Пусть Z – число дефектных деталей.                                совокупности, n – объем выборки), то можно предположить неза-
      В примерах X, Y, Z – дискретные случайные величины, под-           висимость исходов.
чиняющиеся биномиальному распределению. Биномиальное рас-                      В примере 3 Z подчиняется биномиальному распределению
пределение базируется на эксперименте, состоящем в последова-            с параметрами n=12, р=0,15. Полагаем, что автомат произвел
тельности испытаний Бернулли (схеме повторных испытаний).                большое количество деталей, выборка выполнена случайным об-
      Определим случайную величину как биномиальную, если                разом из большого числа деталей, сходных друг с другом (наличи-
для нее мы рассчитываем число успехов и неуспехов в последова-           ем или отсутствием дефектов).
тельности п испытаний Бернулли.
      Случайная величина, для которой вычисляется число успе-                 2. Формула Бернулли. Биномиальные вероятности
хов в n повторных испытаниях, где р – вероятность успеха в лю-                Вычислим вероятности значений случайной величины, под-
бом из заданных испытаний, a q=(1–р) – соответствующая вероят-           чиняющиеся закону биномиального распределения.

                                  53                                                                   54