ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
49
Решение. Из формулы (4) следует, что
( ) 5000 0,2 6000 0,3 7000 0,2 8000 0, 2 9000 0,1
1000 1800 1400 1600 900 6700.
MX =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
=++++=
Пример 6. Вернемся к примеру 5. Предположим, что стои-
мость фиксированного месячного выпуска продукции составляет
8000 условных денежных единиц и что доход от реализации каж-
дой единицы товара составляет 2 денежные единицы. Найти ожи-
даемый месячный доход от продажи продукции.
Решение. Функция дохода от продажи продукции компа-
нии есть h(X)=2X–8000. Формула (7) свидетельствует, что ожидае-
мое значение h(X) есть сумма произведений h(X) на соответствую-
щие вероятности. Результаты расчета представлены в таблице 6.
Таблица 6
К вычислению среднего ожидаемого значения
Число единиц то-
вара х, тыс. шт.
()
i
hx ()
i
Px [()] () ()
ii
M
hX hx Px
=
⋅
5000
6000
7000
8000
9000
2000
4000
6000
8000
10 000
0,2
0,3
0,2
0,2
0,1
400
1200
1200
1600
1000
[ ( )] 5400MhX
=
Ожидаемый ежемесячный доход от продаж продукции со-
ставляет 5400 условных денежных единиц (см. табл. 6). Для ли-
нейной функции случайной величины (см. пример 6) можно упро-
стить вычисления [()]
M
hx : из свойств математического ожида-
ния следует, что
()()
M
aX b aM X b
+
=+,
где
, ab
– числовые параметры.
Формула (7) подходит для любых случайных величин, как
дискретных, так и непрерывных.
В примере 6 можно вычислить ожидаемый доход: для этого
сначала следует рассчитать ожидаемое среднее значение X, затем
50
умножить полученное значение на 2 и вычесть из полученного
произведения стоимость фиксированного выпуска 8000. Ожидае-
мое значение X есть 6700 и ожидаемый доход, следовательно, ра-
вен М[h(Х)]=М(2Х–8000)=2М(Х)–8000=2·6700–8000=5400, что и
было получено нами ранее.
2.2.7. Дисперсия дискретной случайной величины
Дисперсия случайной величины есть математическое ожида-
ние квадрата отклонения значений случайной величины от ее ма-
тематического ожидания.
222
1
() ([ ()]) [ ()] ().
n
ii
i
DX M X M X x M X Px
σ
=
== − =−
∑
(8)
Вероятности значений случайной величины играют роль ве-
сов (частот) при вычислении ожидаемых значений квадратов от-
клонений дискретной случайной величины от средней. По форму-
ле (8) дисперсия вычисляется путем вычитания математического
ожидания из каждого значения случайной величины, затем возве-
дением в квадрат результатов, умножением их на вероятности
()
i
Px и сложением результатов для всех
i
x
.
Для примера 1 (о рекламных объявлениях, размещаемых в
газете в определенный день) дисперсия вычисляется так:
σ
2
=
∑
=
n
i 1
[x
i
–M(X)]
2
P(x
i
)=(0–2,3)
2
+(1–2,3)
2
+(2–2,3)
2
+(3–2,3)
2
+(4–
2,3)
2
+(5–2,3)
2
=2,01.
Свойства дисперсии дискретной случайной величины
Дисперсия дискретной случайной величины обладает сле-
дующими свойствами.
1. () 0DC
=
, где C – постоянная величина.
2.
2
() ()DC X C D X⋅=⋅ , где C – постоянный множитель.
3. Для конечного числа n независимых случайных величин:
12 1 2
()()()().
nn
DX X X DX DX DX
±
±± = + ++KK (9)
4. Если
12
,, ,
n
X
XXK – одинаково распределенные неза-
висимые случайные величины, дисперсия каждой из которых рав-
Р е ш е н и е . Из формулы (4) следует, что умножить полученное значение на 2 и вычесть из полученного
M ( X ) = 5000 ⋅ 0, 2 + 6000 ⋅ 0,3 + 7000 ⋅ 0, 2 + 8000 ⋅ 0, 2 + 9000 ⋅ 0,1 = произведения стоимость фиксированного выпуска 8000. Ожидае-
= 1000 + 1800 + 1400 + 1600 + 900 = 6700. мое значение X есть 6700 и ожидаемый доход, следовательно, ра-
вен М[h(Х)]=М(2Х–8000)=2М(Х)–8000=2·6700–8000=5400, что и
Пример 6. Вернемся к примеру 5. Предположим, что стои-
было получено нами ранее.
мость фиксированного месячного выпуска продукции составляет
8000 условных денежных единиц и что доход от реализации каж-
2.2.7. Дисперсия дискретной случайной величины
дой единицы товара составляет 2 денежные единицы. Найти ожи-
даемый месячный доход от продажи продукции. Дисперсия случайной величины есть математическое ожида-
Р е ш е н и е . Функция дохода от продажи продукции компа- ние квадрата отклонения значений случайной величины от ее ма-
нии есть h(X)=2X–8000. Формула (7) свидетельствует, что ожидае- тематического ожидания.
мое значение h(X) есть сумма произведений h(X) на соответствую- n
щие вероятности. Результаты расчета представлены в таблице 6. σ 2 = D( X ) = M ([ X − M ( X )]2 ) = ∑ [ xi − M ( X )]2 P( xi ). (8)
i =1
Таблица 6 Вероятности значений случайной величины играют роль ве-
сов (частот) при вычислении ожидаемых значений квадратов от-
К вычислению среднего ожидаемого значения
клонений дискретной случайной величины от средней. По форму-
Число единиц то- ле (8) дисперсия вычисляется путем вычитания математического
h( xi ) P ( xi ) M [h( X )] = h( xi ) ⋅ P( xi )
вара х, тыс. шт. ожидания из каждого значения случайной величины, затем возве-
5000 2000 0,2 400 дением в квадрат результатов, умножением их на вероятности
6000 4000 0,3 1200 P ( xi ) и сложением результатов для всех xi .
7000 6000 0,2 1200 Для примера 1 (о рекламных объявлениях, размещаемых в
8000 8000 0,2 1600 газете в определенный день) дисперсия вычисляется так:
9000 10 000 0,1 1000 n
M [h( X )] = 5400 σ2= ∑ [x –M(X)] P(x )=(0–2,3) +(1–2,3) +(2–2,3) +(3–2,3) +(4–
i=1
i
2
i
2 2 2 2
Ожидаемый ежемесячный доход от продаж продукции со- 2,3)2+(5–2,3)2=2,01.
ставляет 5400 условных денежных единиц (см. табл. 6). Для ли-
нейной функции случайной величины (см. пример 6) можно упро- Свойства дисперсии дискретной случайной величины
Дисперсия дискретной случайной величины обладает сле-
стить вычисления M [h( x)] : из свойств математического ожида-
дующими свойствами.
ния следует, что 1. D (C ) = 0 , где C – постоянная величина.
M (aX + b) = aM ( X ) + b ,
2. D (C ⋅ X ) = C 2 ⋅ D ( X ) , где C – постоянный множитель.
где a, b – числовые параметры.
3. Для конечного числа n независимых случайных величин:
Формула (7) подходит для любых случайных величин, как
дискретных, так и непрерывных. D( X 1 ± X 2 ± K ± X n ) = D( X 1 ) + D( X 2 ) + K + D( X n ). (9)
В примере 6 можно вычислить ожидаемый доход: для этого 4. Если X 1 , X 2 , K , X n – одинаково распределенные неза-
сначала следует рассчитать ожидаемое среднее значение X, затем висимые случайные величины, дисперсия каждой из которых рав-
49 50
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
