Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 23 стр.

                            ⎡x       x2    ...        xn ⎤                                                     1. M (C ) = C , где C – постоянная величина.
                         X =⎢ 1                             ,
                            ⎣ p1     p2    ...        pn ⎥⎦                                                    2. M (CX ) = CM ( X ) , где C – постоянная величина.
                                                  n                                                            3. M ( X 1 ± X 2 ± K ± X n ) = M ( X 1 ) ± M ( X 2 ) ± K ± M ( X n ). (4)
где x1 < x 2 < ... < x n , 0 ≤ pi ≤ 1 , …, n,    ∑ P = 1. i                                                    4. Для конечного числа n независимых случайных величин:
                                                 i =1
                                                                                                                M ( X 1 ⋅ X 2 ⋅K ⋅ X n ) = M ( X 1 ) ⋅ M ( X 2 ) ⋅K ⋅ M ( X n ).     (5)
      Математическое ожидание случайной дискретной величи-
ны X (т. е. принимающей только конечное или счетное множество                                                  Следствие. Математическое ожидание отклонения значений
                                                                                                          случайной величины X от ее математического ожидания равно ну-
значений x1 , x2 , K , xn соответственно с вероятностями
                                                                                                          лю:
p1 , p2 , K , pn ) равно сумме произведений значений случайной                                                                          M [ X − M ( X )] = 0.                        (6)
величины на соответствующие им вероятности:                                                                    5. Математическое ожидание среднего арифметического
                                     n                          n
                                                                                                          значения n одинаково распределенных взаимно независимых
                         M (X ) =   ∑ xi P ( xi ) =
                                    i =1
                                                              ∑x p
                                                              i =1
                                                                     i   i   .                      (3)   случайных величин равно математическому ожиданию каждой из
                                                                                                          величин:
      Найдем математическое ожидание случайной величины X –
числа рекламных объявлений в газете в заданный день для приме-                                                                          M ( X ) = M ( X i ).
ра 1. Расчет ожидаемого среднего значения случайной величины                                                   Случайные дискретные величины называются одинаково
удобно производить, пользуясь табл. 3.                                                                    распределенными, если у них одинаковые ряды распределения, а
                                                                                                          следовательно, и одинаковые числовые характеристики.
                                                                                        Таблица 3              Пусть X 1 , X 2 , K, X n – одинаково распределенные случай-
         Вычисление математического ожидания числа                                                        ные величины, математические ожидания которых одинаковы и
             рекламных объявлений (пример 1)                                                              равны а. Тогда математическое ожидание их суммы равно na и
                                                                                                          математическое ожидание средней арифметической равно a
   х        0       1       2        3      4                  5                        n
                                                                                                                      M (X ) =
                                                                                                                                 1                                 na
 P(х)      0,1     0,2     0,3      0,2    0,1                0,1                 n
                                                                                                                                   ⋅ M ( X 1 + X 2 + ... + X n ) =    =a.
                                                                             ∑ P( x )
                                                                                 i =1
                                                                                            i
                                                                                                2
                                                                                                                                 n                                  n
                                                                                                                Пример 4. Для лотереи, описанной в примере 2, составьте
 хP(х)     0,0     0,2     0,6      0,6    0,4                0,5            М(Х)=2,3                     закон распределения суммы выигрыша для посетителя магазина,
                                                                                                          который приобрел два билета стоимостью по 1 руб. Найдите ма-
     Можно сказать, что в среднем 2–3 рекламных объявления                                                тематическое ожидание суммы выигрыша и убедитесь в справед-
ежедневно помещаются в газете. Это – ожидаемое среднее число                                              ливости формулы M ( X + Y ) = M ( X ) + M (Y ) .
рекламных объявлений в заданный день.                                                                           Р е ш е н и е . Суммы выигрышей на первый и второй билеты
                                                                                                          лотереи с учетом затрат на их приобретение являются случайными
     2.2.5. Свойства математического ожидания случайной                                                   величинами, которые обозначим соответственно X и Y. Это одина-
дискретной величины                                                                                       ково распределенные случайные величины, а их законы распреде-
     Математическое ожидание случайной дискретной величины                                                ления получены в примере 2. Сумма выигрыша для посетителя,
обладает следующими свойствами.                                                                           который приобрел два билета, является случайной величиной. Она
                                      45                                                                                                        46