ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
47
представляет собой сумму случайных величин Х и Y, которые яв-
ляются зависимыми. Для нахождения закона распределения слу-
чайной величины X+Y рассмотрим возможные различные исходы
лотереи (табл. 4).
Таблица 4
Возможные исходы лотереи
X Y X+Y
Вероятность
результата
-1 -1 -2 (47/50)·(46/49)=1081/1225
-1 9 8 (47/50)·(2/49)=47/1225
-1 29 28 (47/50)·(1/49)=47/2450
9 -1 8 (2/50)·(47/49)=47/1225
9 9 18 (2/50)·(1/49)=1/1225
9 29 38 (2/50)·(1/49)=1/1225
29 -1 28 (1/50)·(47/49)=47/2450
29 9 38 (1/50)·(2/49)=1/1225
29 29 58 (1/50)·(0/49)=0
При нахождении вероятностей соответствующих результа-
тов применяется теорема умножения вероятностей для зависимых
событий. Например, случайная величина X+Y примет значение,
равное –2 руб., если покупатель не выиграет ни на первый билет,
ни на второй. Вероятность проиграть на первый билет лотереи
равна 47/50, на второй – при условии, что первый билет не выиг-
рал, равна 46/49.
По теореме умножения получаем вероятность проиграть на
оба билета. Вероятность выиграть на оба билета книги по 30 руб.
оказывается равной 0, так как имеется лишь один такой выигрыш.
Таким образом, случайная величина X+Y может принимать сле-
дующие значения: –2, 8, 18, 28 и 38 руб.
Закон распределения случайной величины X+Y:
Сумма
выигрыша, руб.
-2 8 18 28 38
Вероятность
1081/1225 94/1225 1/1225 47/1225 2/1225
48
Вероятности (8)PX Y
+
= , (28)PX Y
+
= и (38)PX Y+=
получаем, используя теорему сложения вероятностей. Найдем ма-
тематическое ожидание Х+Y:
1081 94 1 47 2
( ) 2 8 18 28 38 0;
1225 1225 1225 1225 1225
MX Y
+
=−⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
47 2
( ) ( ) ( 1) 0,94 9 0,04 29 0,02 ( 1) 9 0.
49 49
MX MY
=
=− ⋅ + ⋅ + ⋅ =− ⋅ + ⋅ =
Следовательно, ()()()
M
XY MX MY
+
=+.
2.2.6. Ожидаемое среднее значение функции случайной
величины
Можно вычислять ожидаемое среднее значение как функ-
цию случайной величины. Пусть ()hX – функция случайной ве-
личины X. Ожидаемое значение функции дискретной случайной
величины:
()
[]
.)()(
1
∑
=
=
n
i
ii
xPxhXhM (7)
Функция ()hX может быть любой, например
2
X
,
6
4
X
,
ln
X
. Разберем простой пример, когда
()hX
– линейная функция
от X, т. е. ()hX aX b
=
+ , где ,ab – числа.
Пример 5. Компания продает некоторый продукт, учет про-
даж которого ведется в тысячах штук. Закон распределения объе-
ма ежемесячных продаж продукта представлен в табл. 5. Найти
ожидаемое среднее значение числа месячных продаж.
Таблица 5
Ряд распределения числа месячных продаж
Число единиц товара х, тыс. шт. Р(х)
5000
6000
7000
8000
9000
0,2
0,3
0,2
0,2
0,1
1,0
представляет собой сумму случайных величин Х и Y, которые яв- Вероятности P ( X + Y = 8) , P ( X + Y = 28) и P ( X + Y = 38)
ляются зависимыми. Для нахождения закона распределения слу- получаем, используя теорему сложения вероятностей. Найдем ма-
чайной величины X+Y рассмотрим возможные различные исходы тематическое ожидание Х+Y:
лотереи (табл. 4).
1081 94 1 47 2
Таблица 4 M ( X + Y ) = −2 ⋅ + 8⋅ + 18 ⋅ + 28 ⋅ + 38 ⋅ = 0;
1225 1225 1225 1225 1225
Возможные исходы лотереи 47 2
M ( X ) = M (Y ) = (−1) ⋅ 0,94 + 9 ⋅ 0, 04 + 29 ⋅ 0, 02 = (−1) ⋅ + 9 ⋅ = 0.
Вероятность 49 49
X Y X+Y Следовательно, M ( X + Y ) = M ( X ) + M (Y ) .
результата
-1 -1 -2 (47/50)·(46/49)=1081/1225
-1 9 8 (47/50)·(2/49)=47/1225 2.2.6. Ожидаемое среднее значение функции случайной
-1 29 28 (47/50)·(1/49)=47/2450 величины
9 -1 8 (2/50)·(47/49)=47/1225 Можно вычислять ожидаемое среднее значение как функ-
9 9 18 (2/50)·(1/49)=1/1225 цию случайной величины. Пусть h( X ) – функция случайной ве-
9 29 38 (2/50)·(1/49)=1/1225 личины X. Ожидаемое значение функции дискретной случайной
29 -1 28 (1/50)·(47/49)=47/2450 величины:
29 9 38 (1/50)·(2/49)=1/1225 n
29 29 58 (1/50)·(0/49)=0 M [h( X )] = ∑ h( xi ) P( xi ). (7)
i =1
При нахождении вероятностей соответствующих результа- Функция h( X ) может быть любой, например X 2 , 4X 6 ,
тов применяется теорема умножения вероятностей для зависимых ln X . Разберем простой пример, когда h( X ) – линейная функция
событий. Например, случайная величина X+Y примет значение,
равное –2 руб., если покупатель не выиграет ни на первый билет, от X, т. е. h( X ) = aX + b , где a, b – числа.
ни на второй. Вероятность проиграть на первый билет лотереи Пример 5. Компания продает некоторый продукт, учет про-
равна 47/50, на второй – при условии, что первый билет не выиг- даж которого ведется в тысячах штук. Закон распределения объе-
рал, равна 46/49. ма ежемесячных продаж продукта представлен в табл. 5. Найти
По теореме умножения получаем вероятность проиграть на ожидаемое среднее значение числа месячных продаж.
оба билета. Вероятность выиграть на оба билета книги по 30 руб. Таблица 5
оказывается равной 0, так как имеется лишь один такой выигрыш.
Таким образом, случайная величина X+Y может принимать сле- Ряд распределения числа месячных продаж
дующие значения: –2, 8, 18, 28 и 38 руб. Число единиц товара х, тыс. шт. Р(х)
Закон распределения случайной величины X+Y: 5000 0,2
6000 0,3
Сумма 7000 0,2
-2 8 18 28 38
выигрыша, руб. 8000 0,2
Вероятность 1081/1225 94/1225 1/1225 47/1225 2/1225 9000 0,1
1,0
47 48
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
