ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
51
на σ
2
, то дисперсия их суммы равна
2
n
σ
, а дисперсия средней
арифметической равна
2
/ n
σ
:
()
=XD σ
2
/п. (10)
Для вычисления дисперсии проще пользоваться другой
формулой:
22
() ( )( ()),DX M X M X=− (11)
полученной путем несложных выкладок:
22 2
2222
() [ ()] [ 2 () ( ())]
( )2 () ()( ()) ( )( ()).
DX MX MX MX MX X MX
MX MXMX MX MX MX
=− = − ⋅+ =
=− + =−
При вычислении дисперсии с помощью формулы (11) ис-
пользуют определение ожидаемого среднего значения функции
случайной дискретной величины из формулы (7) для специального
случая h(X)=X
2
. Вычисляют х
2
для каждого х
i
, умножают его на
Р(х) и складывают для всех x
i
. Это дает М(Х
2
). Для получения дис-
персии из M(X
2
) вычитают квадрат математического ожидания
случайной величины X. Вычислим дисперсию случайной величи-
ны для примера 1, используя этот способ. Результаты оформим в
виде рабочей таблицы (табл. 7).
Таблица 7
К вычислению дисперсии случайной величины
x
()Px ()
x
Px
2
()
x
Px
0
1
2
3
4
5
0,1
0,2
0,3
0,2
0,1
0,1
0,0
0,2
0,6
0,6
0,4
0,5
0,0
0,2
1,2
1,8
1,6
2,5
1 () 2,3MX =
2
()7,3MX =
Чтобы получить дисперсию
X
, вычисляем разность
22
()(())
M
XMX− :
22 2
( ) ( ) ( ( )) 7,3 (2,3) 2,01DX MX MX=− =−=.
52
Результат вычислений совпал с полученным при помощи
формулы (8).
Среднее квадратическое отклонение (стандартное откло-
нение) дискретной случайной величины равно корню квадратному
из дисперсии
().DXσ= (12)
Для примера 1 среднее квадратическое отклонение
2,01 1, 418σ= = .
В чем смысл дисперсии и среднего квадратического откло-
нения? Как можно интерпретировать их значения? По определе-
нию
2
σ
– средний квадрат отклонения значений случайной вели-
чины от математического ожидания. Отсюда следует, что это мера
рассеяния всех возможных значений случайной величины относи-
тельно среднего ожидаемого значения. Дисперсия характеризует
изменчивость случайной величины: чем больше вариация, тем
дальше от средней находятся возможные значения случайной ве-
личины. Для содержательной интерпретации зачастую полезно
применять значение, которое дает корень квадратный из диспер-
сии – среднее квадратическое отклонение (стандартное отклоне-
ние). Если сравнивают две случайные величины, то та из них, ко-
торая имеет большую дисперсию и среднее квадратическое откло-
нение, более вариабельна. Риск, ассоциируемый с инвестициями,
часто измеряют стандартным отклонением возврата инвестиций.
Если сравниваются два типа инвестиций с одинаковой ожидаемой
средней возврата, то инвестиции с более высоким средним квад-
ратическим отклонением считаются более рискованными (хотя
более высокое стандартное отклонение предполагает возврат бо-
лее вариабельный с обеих сторон – как ниже, так и выше средней).
2.2.8. Дисперсия линейной функции случайной величины
Для случайной величины, заданной линейной функцией
aX b
+
, имеем:
222
()() .DaX b aDX a
+
==σ (13)
По формуле (13) найдем дисперсию ожидаемого дохода для
примера 5. Доход задан функцией 2 8000X
−
. Находим
на σ2, то дисперсия их суммы равна nσ 2 , а дисперсия средней Результат вычислений совпал с полученным при помощи
формулы (8).
арифметической равна σ 2 / n :
Среднее квадратическое отклонение (стандартное откло-
( )
D X = σ2/п. (10) нение) дискретной случайной величины равно корню квадратному
Для вычисления дисперсии проще пользоваться другой из дисперсии
формулой: σ = D( X ). (12)
D( X ) = M ( X 2 ) − ( M ( X )) 2 , (11) Для примера 1 среднее квадратическое отклонение
полученной путем несложных выкладок:
σ = 2, 01 = 1, 418 .
D( X ) = M [ X − M ( X )]2 = M [ X 2 − 2 M ( X ) ⋅ X + ( M ( X )) 2 ] = В чем смысл дисперсии и среднего квадратического откло-
= M ( X 2 ) − 2 M ( X ) M ( X ) + ( M ( X )) 2 = M ( X 2 ) − ( M ( X )) 2 . нения? Как можно интерпретировать их значения? По определе-
При вычислении дисперсии с помощью формулы (11) ис- нию σ 2 – средний квадрат отклонения значений случайной вели-
пользуют определение ожидаемого среднего значения функции чины от математического ожидания. Отсюда следует, что это мера
случайной дискретной величины из формулы (7) для специального рассеяния всех возможных значений случайной величины относи-
случая h(X)=X2. Вычисляют х2 для каждого хi, умножают его на тельно среднего ожидаемого значения. Дисперсия характеризует
Р(х) и складывают для всех xi. Это дает М(Х2). Для получения дис- изменчивость случайной величины: чем больше вариация, тем
персии из M(X2) вычитают квадрат математического ожидания дальше от средней находятся возможные значения случайной ве-
случайной величины X. Вычислим дисперсию случайной величи- личины. Для содержательной интерпретации зачастую полезно
ны для примера 1, используя этот способ. Результаты оформим в применять значение, которое дает корень квадратный из диспер-
виде рабочей таблицы (табл. 7). сии – среднее квадратическое отклонение (стандартное отклоне-
ние). Если сравнивают две случайные величины, то та из них, ко-
Таблица 7 торая имеет большую дисперсию и среднее квадратическое откло-
К вычислению дисперсии случайной величины нение, более вариабельна. Риск, ассоциируемый с инвестициями,
часто измеряют стандартным отклонением возврата инвестиций.
x P ( x) xP( x) x 2 P ( x) Если сравниваются два типа инвестиций с одинаковой ожидаемой
0 0,1 0,0 0,0 средней возврата, то инвестиции с более высоким средним квад-
1 0,2 0,2 0,2 ратическим отклонением считаются более рискованными (хотя
2 0,3 0,6 1,2 более высокое стандартное отклонение предполагает возврат бо-
3 0,2 0,6 1,8 лее вариабельный с обеих сторон – как ниже, так и выше средней).
4 0,1 0,4 1,6
5 0,1 0,5 2,5 2.2.8. Дисперсия линейной функции случайной величины
1 M ( X ) = 2,3 M ( X ) = 7,3
2
Для случайной величины, заданной линейной функцией
aX + b , имеем:
Чтобы получить дисперсию X , вычисляем разность D(aX + b) = a 2 D( X ) = a 2σ 2 . (13)
M ( X 2 ) − ( M ( X )) 2 : По формуле (13) найдем дисперсию ожидаемого дохода для
D( X ) = M ( X 2 ) − ( M ( X )) 2 = 7,3 − (2,3) 2 = 2, 01 . примера 5. Доход задан функцией 2 X − 8000 . Находим
51 52
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
