Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 21 стр.

     2.2.2. Функция распределения                                   Покажем, что для всех x , удовлетворяющих двойному неравенст-
      При анализе экономических явлений определенный смысл          ву 1 < x ≤ 2
имеют кумулятивные (накопленные) вероятности случайных ве-                                F ( x) = 0,1 + 0, 2 = 0,3.
личин. Нас может интересовать вероятность того, что число про-            Пусть, например, x = 2 . Тогда F (2) – вероятность события
данных единиц некоторого товара окажется не меньше некоторого       ( X < 2) . Это возможно в двух случаях: или случайная величина X
определенного числа, гарантирующего прибыль продавцу, веро-
                                                                    принимает значение 0 (с вероятностью 0,1), или 1 (с вероятностью
ятность того, что суммы возможных убытков от рискованных ин-
                                                                    0,2). Применяя теорему сложения вероятностей, получим указан-
вестиций окажутся не выше (или только меньше) некоторого оп-
                                                                    ное значение функции F ( x) при x = 2 . Аналогичные рассужде-
ределенного значения и т. д. Зная закон распределения дискретной
случайной величины, можно составить функцию накопленных             ния позволяют найти функцию распределения. Запишем ее в таб-
вероятностей. Определим интегральную (кумулятивную) функцию         личной форме (см. табл. 2).
распределения.
      Функцией распределения дискретной случайной величины                                                                     Таблица 2
называется функция F(x), определяющая для каждого значения          Функция распределения (интегральная функция распределе-
x вероятность того, что случайная величина X не превзойдет неко-                     ния для примера 7.1)
торого x , т. е.
                                                                    x      x ≤ 0 0 < x ≤1   1< x ≤ 2 2 < x ≤ 3 3 < x ≤ 4 4 < x ≤ 5 x > 5
                             ∑
          F ( x) = P( X ≤ x) =
                             i              i
                                             ∑
                                 P ( X = xi ) = P( X = i) ,   (2)
                                                                    F ( x) 0     0,1        0,3      0,6       0,8       0,9       1,0
                             xi ≤ x         xi ≤ x

где суммирование распространяется на все значения индекса i ,            Построим график функции распределения F ( x) (рис. 1).
для которых xi ≤ x .
      Функцию F ( x) называют также накопленным (кумулятив-
ным) распределением вероятностей. Иногда вместо термина
«функция распределения» используют термин «интегральная
функция распределения».
      Пример 3. Для примера 1 найти функцию распределения
случайной величины X – числа рекламных объявлений.
      Р е ш е н и е . Случайная величина X не принимает значений,
меньших 0. Следовательно, если x ≤ 0 , то событие X < x – не-
возможно, и, следовательно, вероятность его равна нулю. Поэтому
функция распределения случайной величины X для всех значе-
ний x ≤ 0 также равна 0. Для всех x , удовлетворяющих двойному
неравенству 0 < x ≤ 1 , значения функции F ( x) равны вероятности
                                                                                    Рис. 1. График интегральной функции
события ( X < 1) . Но случайная величина X принимает значение,
                                                                                        числа рекламных объявлений
меньшее 1 , лишь в одном случае: значение 0 с вероятностью 0,1.

                                  41                                                                 42