ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
59
ся биномиальному распределению, равно произведению числа ис-
пытаний п на постоянную вероятность успеха р в каждом отдель-
ном испытании. Следует отметить, что частость (m/n) также мож-
но рассматривать как случайную величину, и тогда
М(т/п)=1/n·М(т)=1/n·(np)=р. (4)
Математическое ожидание частоты биномиального распре-
деления
М(X)=n/p. (5)
Аналогично рассуждая, получим
D(X
i
)=М(X
i
2
)–М
2
(X
i
)=0
2
·q+1
2
·p– p
2
=p·(1–p)=p·q;
D(X)= σ
2
=D(X
1
)+D(X
2
)+…+D(X
n
)=
∑
=
n
i 1
D(X
i
)=n·p·q. (6)
Если роль случайной величины играет т/п, то
D(m/n)=1/п
2
·D(m)=1/n
2
·n·p·q=p·q/n. (7)
Стандартное отклонение биномиального распределения равно
σ=√n·p·q. (8)
Используя формулы (4) и (5), найдем математическое ожи-
дание и дисперсию случайной величины X – числа появления гер-
бов при четырех подбрасываниях монеты, М(Х)=пр=4·0,5=2. При
достаточно большой серии испытаний по четыре подбрасывания
монеты можно ожидать, что в среднем при четырех подбрасыва-
ниях монеты выпадет два герба. D(X)=n·p·q=4·0,5·0,5=1,00, а
σ=1,00.
Пример 10. В отдел верхней одежды универмага один за
другим входят трое посетителей. По оценкам менеджера, вероят-
ность того, что вошедший посетитель совершит покупку, равна
0,3. Чему равна вероятность того, что ни один из посетителей ни-
чего не купит? Один из посетителей купит что-либо? Двое из трех
вошедших в магазин людей совершат покупку? Все трое купят
что-нибудь в отделе?
Решение. Проверим задачу на соответствие условиям би-
номиального эксперимента.
1. Эксперимент описан как последовательность трех иден-
тичных испытаний – по одному испытанию для каждого из трех
посетителей, входящих в универмаг.
60
2. Два исхода – посетитель совершает покупку (успех) или
не совершает покупку (неуспех) – возможны для каждого отдель-
ного испытания.
3. Вероятность каждой покупки равна 0,3, вероятность не-
покупки – 0,7.
4. Решение о покупке для каждого из покупателей не зави-
сит от решений других покупателей.
Рассчитаем вероятности биномиального распределения,
применяя формулу (1), и результаты представим в виде таблицы
(табл. 12).
Таблица 12
Биномиальное распределение числа покупателей
m=x
i
P
n,m
=p
i
x
i
p
i
x
i
2
p
I
0
1
2
3
0,343
0,441
0,189
0,027
0
0,441
0,378
0,081
0
0,441
0,756
0,2643
1 0,9
∑
=
=⋅+⋅+⋅+⋅==
n
i
ii
xPxXM
1
.9,0027,03189,02441,01343,00)()(
Математическое ожидание биномиального распределения
проще вычислить по формуле (4) М(Х)=пр = 3·0,3 = 0,9. Диспер-
сия σ
2
=D(X) = n·p·q = 3·0,3·0,7 = 0,63. Построим график распреде-
ления (рис. 2).
x
i
p
i
0,027
0,189
0,441
0,343
0 1 2
0,4
0,3
0,2
0,1
Рис. 2. Графическое представление биномиального распределения
ся биномиальному распределению, равно произведению числа ис- 2. Два исхода – посетитель совершает покупку (успех) или
пытаний п на постоянную вероятность успеха р в каждом отдель- не совершает покупку (неуспех) – возможны для каждого отдель-
ном испытании. Следует отметить, что частость (m/n) также мож- ного испытания.
но рассматривать как случайную величину, и тогда 3. Вероятность каждой покупки равна 0,3, вероятность не-
М(т/п)=1/n·М(т)=1/n·(np)=р. (4) покупки – 0,7.
4. Решение о покупке для каждого из покупателей не зави-
Математическое ожидание частоты биномиального распре-
сит от решений других покупателей.
деления
Рассчитаем вероятности биномиального распределения,
М(X)=n/p. (5) применяя формулу (1), и результаты представим в виде таблицы
Аналогично рассуждая, получим (табл. 12).
D(Xi)=М(Xi2)–М2(Xi)=02·q+12·p– p2=p·(1–p)=p·q; Таблица 12
n
2
D(X)= σ =D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)= ∑D(X )=n·p·q.
i=1
i (6) Биномиальное распределение числа покупателей
m=xi Pn,m=pi xipi xi2pI
Если роль случайной величины играет т/п, то
0 0,343 0 0
D(m/n)=1/п2·D(m)=1/n2·n·p·q=p·q/n. (7) 1 0,441 0,441 0,441
Стандартное отклонение биномиального распределения равно 2 0,189 0,378 0,756
σ=√n·p·q. (8) 3 0,027 0,081 0,2643
Используя формулы (4) и (5), найдем математическое ожи- 1 0,9
дание и дисперсию случайной величины X – числа появления гер- n
бов при четырех подбрасываниях монеты, М(Х)=пр=4·0,5=2. При M ( X ) = ∑ xi P( xi ) = 0 ⋅ 0,343 + 1 ⋅ 0,441 + 2 ⋅ 0,189 + 3 ⋅ 0,027 = 0,9.
достаточно большой серии испытаний по четыре подбрасывания i =1
монеты можно ожидать, что в среднем при четырех подбрасыва- Математическое ожидание биномиального распределения
ниях монеты выпадет два герба. D(X)=n·p·q=4·0,5·0,5=1,00, а проще вычислить по формуле (4) М(Х)=пр = 3·0,3 = 0,9. Диспер-
σ=1,00. сия σ2=D(X) = n·p·q = 3·0,3·0,7 = 0,63. Построим график распреде-
Пример 10. В отдел верхней одежды универмага один за ления (рис. 2).
другим входят трое посетителей. По оценкам менеджера, вероят-
ность того, что вошедший посетитель совершит покупку, равна pi
0,441
0,3. Чему равна вероятность того, что ни один из посетителей ни-
чего не купит? Один из посетителей купит что-либо? Двое из трех 0,4
0,343
вошедших в магазин людей совершат покупку? Все трое купят 0,3
что-нибудь в отделе?
0,2 0,189
Р е ш е н и е . Проверим задачу на соответствие условиям би-
номиального эксперимента. 0,1 0,027 xi
1. Эксперимент описан как последовательность трех иден-
тичных испытаний – по одному испытанию для каждого из трех 0 1 2
посетителей, входящих в универмаг. Рис. 2. Графическое представление биномиального распределения
59 60
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
