Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 33 стр.

       Сопоставление вероятностей показывает, что вычисленные           Р е ш е н и е . Пусть «успех» в единичном испытании с веро-
по формуле Пуассона вероятности почти совпадают с их значе-       ятностью 0,332 есть событие «первый случайно отобранный по-
ниями, вычисленными по формуле Бернулли. Максимальная по-         требитель предпочитает Пепси-Колу». Используя геометрическое
грешность результатов, вычисленных по формуле Пуассона равна      распределение при т=1, найдем из формулы (14):
0,002.                                                                                   Р(1)=0,332·0,6880=0,332.
                                                                        Точно так же первый выбранный человек не будет, а второй
      6. Геометрическое распределение                             будет потребителем Пепси-Колы с вероятностью
      Рассмотрим биномиальный эксперимент с обычными усло-                               P(2)=0,332·0,6881=0,2218.
виями. Пусть вместо вычисления числа успехов в независимых              Вероятность того, что двое потребителей, не употребляю-
испытаниях случайная величина определяет число испытаний до       щих Пепси-Колу, будут проинтервьюированы до того, как первый
первого успеха. Такая случайная величина распределена по закону   потребитель Пепси-Колы будет найден, равна
геометрического распределения. Вероятности геометрического                               P(3)=0,332·0,6882=0,1481.
распределения вычисляются по формуле:                             И окончательно P(4)=0,332·0.6883=0,099.
                              P(m)=pqm–1,                  (14)
где т=1, 2, 3, ..., p и q – биномиальные параметры. Математиче-        2.2.10. Закон больших чисел
ское ожидание геометрического распределения равно:                      1. Принцип практической уверенности. Формулировка
                                M(m)= 1/p,                 (15)   закона больших чисел
а дисперсия                                                             Этот принцип иногда в литературе называется «принципом
                              σ2=D(m)=q/p2.                (16)   практической невозможности маловероятных событий». Из-
      Например, число деталей, которые мы должны отобрать до      вестно, что если событие имеет очень малую вероятность, то в
того, как найдем первую дефектную деталь, есть случайная вели-    единичном испытании это событие может наступить и не насту-
чина, распределенная по геометрическому закону. В чем здесь       пить. Но так рассуждаем мы только теоретически, а на практике
смысл математического ожидания? Если доля дефектных деталей       считаем, что событие, имеющее малую вероятность, не наступает,
равна 0,1, то вполне логично, что в среднем мы будем иметь вы-    и поэтому мы, не задумываясь, пренебрегаем им.
борки, состоящие из 10 деталей до тех пор, пока не встретим де-         Но нельзя дать ответ в рамках математической теории на во-
фектную деталь.                                                   прос, какой должна быть верхняя граница вероятности, чтобы мож-
      Пример 15. Исследования в некотором регионе показали,       но было назвать «практически невозможными» события, вероятно-
что Пепси-Кола занимает 33,2 % рынка безалкогольных напитков,     сти которых не будут превышать найденной верхней границы.
а Кока-Кола 40,9 %. Исследователи рынка собираются провести             Пример 16. Рабочий изготавливает на станке 100 изделий,
новое исследование, чтобы проверить вкусы и предпочтения по-      из которых одно в среднем оказывается бракованным. Вероят-
требителей Пепси-Колы. Потенциальные участники отбираются         ность брака равна 0,01, но ею можно пренебречь и считать рабоче-
случайным образом среди потребителей безалкогольных напит-        го неплохим специалистом. Но если строители будут строить дома
ков. Чему равна вероятность того, что случайно отобранный по-     так, что из 100 домов (в среднем) в одном доме будет иметь место
требитель пьет Пепси-Колу? Чему равна вероятность того, что       разрушение крыши, то вряд ли можно пренебречь вероятностью
среди двух отобранных потребителей безалкогольных напитков
                                                                  такого события.
первым будет найден потребитель Пепси-Колы? А среди трех?
                                                                        Итак, в каждом отдельном случае мы должны исходить из
Четырех?
                                                                  того, насколько важны последствия в результате наступления со-
                              65                                                                 66