ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
69
Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклоне-
ние X от ее математического ожидания по абсолютной величине
будет меньше данного положительного числа ε, ограничена снизу
величиной
1–D(X)/ε
2
, т. е. Р(|X–M(X)|<ε)≥1–D(X)/ε
2
. (3)
Из (3) переходом к противоположному событию можно по-
лучить:
Р(|X–M(X)|≥ε)≤D(X)/ε
2
. (4)
Пример 19. Вероятность наступления некоторого события
р=0,3 в каждом из n=900 независимых испытаний. Используя не-
равенство Чебышева, оценить вероятность того, что событие по-
вторится число раз, заключенное в пределах от m
1
=240 до m
2
=300.
Решение. Здесь по условиям задачи имеет место биноми-
альный эксперимент. Следовательно:
М(X)=а=пр=900·0,3=270; ε=|240–270|=|300–270|=30;
D(X)=npq=900·0,3·0,7=189;
Р(|X–270|≤30)≥1–D(X)/ε
2
=1–189/30
2
=1–0,21=0,79, т. е.
Р(|X–270|≤30≥0,79.
3. Теорема Чебышева (частный случай)
Теорема устанавливает связь между средней арифметической
X
наблюдаемых значений случайной величины X и М(X)=а.
Теорема Чебышева. При неограниченном увеличении числа
n независимых испытаний «средняя арифметическая наблюдае-
мых значений случайной величины сходится по вероятности к ее
математическому ожиданию», т. е. для любого положительного ε
lim
n→∞
Р(|
X
–а|<ε)=1. (5)
Смысл выражения «
X
сходится по вероятности к a» со-
стоит в том, что вероятность того, что
X
будет сколь угодно мало
отличаться от a, неограниченно приближаясь к 1 с ростом n. Для
конечного n применим неравенство Чебышева для случайной ве-
личины
X
Р(|
X
–M(
X
)|<ε)≥1–D(
X
)/(ε
2
). (6)
70
Подставляя в это неравенство значения M(
X
) и D(
X
), по-
лучим
Р(|
X
–M(X)|<ε)≥1–D(X)/(n·ε
2
).
Если в (6) взять сколь угодно малое ε>0 и n
→∞
, то получим
,1)]/()(1[lim
2
=⋅−
∞→
ε
nXD
n
что и доказывает теорему Чебышева.
Из рассмотренной теоремы вытекает важный практический
вывод. Он состоит в том, что неизвестное нам значение математи-
ческого ожидания случайной величины мы вправе заменить сред-
ним арифметическим значением, полученным по достаточно
большому числу опытов. При этом, чем больше опытов для вы-
числения, тем с большей вероятностью (надежностью) можно
ожидать, что связанная с этой заменой ошибка (
X
–а) не превзой-
дет заданную величину ε.
Кроме того, можно решать другие практические задачи. На-
пример, по значениям вероятности (надежности) Р=Р(|
X
–а|<ε) и
максимальной допустимой ошибке ε определить необходимое
число опытов n; по Р и п определить ε; по ε и п определить грани-
цу вероятности события |
X
–а|<ε.
Пример 20. Дисперсия случайной величины X равна 4.
Сколько требуется произвести независимых опытов, чтобы с веро-
ятностью не менее 0,9 можно было ожидать, что среднее арифме-
тическое значение этой случайной величины будет отличаться от
математического ожидания менее чем на 0,5?
Решение. По условию задачи ε = 0,5; Р(|
X
–а| < 0,5) ≥ 0,9;
n = ? Применив формулу (6), получим P(|X–M(X)|<ε)≥1–D(X)/(n·ε
2
).
Из соотношения
1–D(X)/(n·ε
2
)=0.9
определяем
п =D(X)/(0,1·ε
2
)=4/(0,1·0,25)=160.
Если использовать утверждение, что в любом случае сред-
няя арифметическая распределена примерно нормально, то полу-
чаем:
Р(|
X
–а|<ε)=2Φ
0
(ε√n/σ)≥0,9.
Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклоне- Подставляя в это неравенство значения M( X ) и D( X ), по-
ние X от ее математического ожидания по абсолютной величине лучим
будет меньше данного положительного числа ε, ограничена снизу
величиной Р(| X –M(X)|<ε)≥1–D(X)/(n·ε2).
1–D(X)/ε2, т. е. Р(|X–M(X)|<ε)≥1–D(X)/ε2. (3) Если в (6) взять сколь угодно малое ε>0 и n→∞, то получим
Из (3) переходом к противоположному событию можно по- lim[1 − D ( X ) /( n ⋅ ε 2 )] = 1,
n →∞
лучить:
что и доказывает теорему Чебышева.
Р(|X–M(X)|≥ε)≤D(X)/ε2. (4)
Из рассмотренной теоремы вытекает важный практический
Пример 19. Вероятность наступления некоторого события
вывод. Он состоит в том, что неизвестное нам значение математи-
р=0,3 в каждом из n=900 независимых испытаний. Используя не-
ческого ожидания случайной величины мы вправе заменить сред-
равенство Чебышева, оценить вероятность того, что событие по-
ним арифметическим значением, полученным по достаточно
вторится число раз, заключенное в пределах от m1=240 до m2=300. большому числу опытов. При этом, чем больше опытов для вы-
Р е ш е н и е . Здесь по условиям задачи имеет место биноми- числения, тем с большей вероятностью (надежностью) можно
альный эксперимент. Следовательно:
М(X)=а=пр=900·0,3=270; ε=|240–270|=|300–270|=30; ожидать, что связанная с этой заменой ошибка ( X –а) не превзой-
D(X)=npq=900·0,3·0,7=189; дет заданную величину ε.
Р(|X–270|≤30)≥1–D(X)/ε2=1–189/302=1–0,21=0,79, т. е. Кроме того, можно решать другие практические задачи. На-
Р(|X–270|≤30≥0,79. пример, по значениям вероятности (надежности) Р=Р(| X –а|<ε) и
максимальной допустимой ошибке ε определить необходимое
3. Теорема Чебышева (частный случай) число опытов n; по Р и п определить ε; по ε и п определить грани-
Теорема устанавливает связь между средней арифметической цу вероятности события | X –а|<ε.
X наблюдаемых значений случайной величины X и М(X)=а. Пример 20. Дисперсия случайной величины X равна 4.
Теорема Чебышева. При неограниченном увеличении числа Сколько требуется произвести независимых опытов, чтобы с веро-
n независимых испытаний «средняя арифметическая наблюдае- ятностью не менее 0,9 можно было ожидать, что среднее арифме-
мых значений случайной величины сходится по вероятности к ее тическое значение этой случайной величины будет отличаться от
математическому ожиданию», т. е. для любого положительного ε математического ожидания менее чем на 0,5?
lim Р(| X –а|<ε)=1. (5) Р е ш е н и е . По условию задачи ε = 0,5; Р(| X –а| < 0,5) ≥ 0,9;
n→∞
n = ? Применив формулу (6), получим P(|X–M(X)|<ε)≥1–D(X)/(n·ε2).
Смысл выражения « X сходится по вероятности к a» со- Из соотношения
стоит в том, что вероятность того, что X будет сколь угодно мало 1–D(X)/(n·ε2)=0.9
отличаться от a, неограниченно приближаясь к 1 с ростом n. Для определяем
конечного n применим неравенство Чебышева для случайной ве- п =D(X)/(0,1·ε2)=4/(0,1·0,25)=160.
Если использовать утверждение, что в любом случае сред-
личины X
няя арифметическая распределена примерно нормально, то полу-
Р(| X –M( X )|<ε)≥1–D( X )/(ε2). (6) чаем:
Р(| X –а|<ε)=2Φ0(ε√n/σ)≥0,9.
69 70
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
