Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 41 стр.

     3.3. Основные свойства статистических характеристик                       Определение. Состоятельной называется статистическая
параметров распределения                                                 оценка, которая при п→∞ стремится по вероятности к оценивае-
                                                                         мому параметру (если эта оценка несмещенная, то она будет со-
       Получив статистические оценки параметров распределения
                                                                         стоятельной, если при п→∞ ее дисперсия стремится к 0).
(выборочное среднее, выборочную дисперсию и т. д.), нужно убе-
диться, что они в достаточной степени служат приближением со-                  Убедимся, что х В представляет собой несмещенную оценку
ответствующих характеристик генеральной совокупности. Опре-              математического ожидания М(Х).
делим требования, которые должны при этом выполняться.                         Будем рассматривать х В как случайную величину, а х1, х2,
       Пусть Θ* – статистическая оценка неизвестного параметра           …, хп, т. е. значения исследуемой случайной величины, состав-
Θ теоретического распределения. Извлечем из генеральной сово-            ляющие выборку, – как независимые, одинаково распределенные
купности несколько выборок одного и того же объема п и вычис-            случайные величины Х1, Х2, …, Хп, имеющие математическое ожи-
лим для каждой из них оценку параметра Θ: Θ1* , Θ*2 , ..., Θ*k . Тогда   дание а. Из свойств математического ожидания следует, что
оценку Θ* можно рассматривать как случайную величину, прини-                                       ⎛ Х + Х 2 + ... + Х п ⎞
мающую возможные значения Θ1* , Θ*2 , ..., Θ*k . Если математическое                  М (Х В ) = М ⎜ 1                   ⎟ = а.
                                                                                                   ⎝        п            ⎠
ожидание Θ* не равно оцениваемому параметру, мы будем полу-
                                                                               Но, поскольку каждая из величин Х1, Х2, …, Хп имеет такое
чать при вычислении оценок систематические ошибки одного зна-
                                                                         же распределение, что и генеральная совокупность, а = М(Х), т. е.
ка (с избытком, если М( Θ*) >Θ, и с недостатком, если М(Θ*) < Θ).
Следовательно, необходимым условием отсутствия систематиче-              М( Х В ) = М(Х), что и требовалось доказать. Выборочное среднее
ских ошибок является требование М(Θ*) = Θ.                               является не только несмещенной, но и состоятельной оценкой ма-
       Определение. Статистическая оценка Θ* называется не-              тематического ожидания. Если предположить, что Х1, Х2, …, Хп
смещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемо-             имеют ограниченные дисперсии, то из теоремы Чебышева следу-
му параметру Θ при любом объеме выборки:                                 ет, что их среднее арифметическое, т. е. Х В , при увеличении п
                            М(Θ*) = Θ.                             (8)   стремится по вероятности к математическому ожиданию а каждой
       Смещенной называют оценку, математическое ожидание ко-            из величин, т. е. к М(Х). Следовательно, выборочное среднее есть
торой не равно оцениваемому параметру.                                   состоятельная оценка математического ожидания.
       Однако несмещенность не является достаточным условием                   В отличие от выборочного среднего, выборочная дисперсия
хорошего приближения к истинному значению оцениваемого па-               является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупно-
раметра. Если при этом возможные значения Θ* могут значитель-            сти. Можно доказать, что
но отклоняться от среднего значения, то есть дисперсия Θ* вели-
                                                                                                                  n −1
ка, то значение, найденное по данным одной выборки, может зна-                                    М ( DB ) =           DГ ,                (9)
чительно отличаться от оцениваемого параметра. Следовательно,                                                       n
требуется наложить ограничения на дисперсию.                             где DГ – истинное значение дисперсии генеральной совокупности.
       Определение. Статистическая оценка называется эффектив-           Можно предложить другую оценку дисперсии – исправленную
ной, если она при заданном объеме выборки п имеет наименьшую             дисперсию s², вычисляемую по формуле
                                                                                                            k
возможную дисперсию.
       При рассмотрении выборок большого объема к статистиче-                                    n
                                                                                                           ∑ n (x i    i   − xB ) 2
ским оценкам предъявляется еще и требование состоятельности.                            s2 =        DB =   i =1
                                                                                                                                      .   (10)
                                                                                               n −1                   n −1
                                 81                                                                        82