ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
85
Θ = ψ (х
1
, х
2
, …, х
п
).
Если известный вид плотности распределения f(x, Θ
1
, Θ
2
)
определяется двумя неизвестными параметрами Θ
1
и Θ
2
, то требу-
ется составить два уравнения, например
ν
1
= М
1
, µ
2
= т
2
.
Отсюда
⎩
⎨
⎧
=
=
B
В
DXD
хХМ
)(
)(
– система двух уравнений с двумя
неизвестными Θ
1
и Θ
2
. Ее решениями будут точечные оценки Θ
1
*
и Θ
2
* – функции вариант выборки:
Θ
1
= ψ
1
(х
1
, х
2
, …, х
п
),
Θ
2
= ψ
2
(х
1
, х
2
, …, х
п
).
Метод наименьших квадратов
Если требуется оценить зависимость величин у и х, причем
известен вид связывающей их функции, но неизвестны значения
входящих в нее коэффициентов, их величины можно оценить по
имеющейся выборке с помощью метода наименьших квадратов.
Для этого функция у = φ (х) выбирается так, чтобы сумма квадра-
тов отклонений наблюдаемых значений у
1
, у
2
, …, у
п
от φ(х
i
) была
минимальной:
∑
=
=−
n
i
ii
xy
1
2
.min))((
ϕ
При этом требуется найти стационарную точку функции
φ(x; a, b, c…), т. е. решить систему:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∑
∑
∑
=
=
=
........................................
0...)),,;((
0...)),,;((
0...)),,;((
1
1
1
n
i
i
ii
n
i
i
ii
n
i
i
ii
c
cbaxy
b
cbaxy
a
cbaxy
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
(решение, конечно, возможно только в случае, когда известен кон-
кретный вид функции φ).
86
Рассмотрим в качестве примера подбор параметров линей-
ной функции методом наименьших квадратов.
Для того, чтобы оценить параметры а и b в функции y = ax + b,
найдем
.1; =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
i
i
i
b
x
а
ϕϕ
Тогда
1
1
(( ))0
(( ))0.
n
ii i
i
n
ii
i
yaxbx
yaxb
=
=
⎧
−
+=
⎪
⎪
⎨
⎪
−
+=
⎪
⎩
∑
∑
Отсюда
2
111
11
0
0.
nnn
ii i i
iii
nn
ii
ii
xy a x b x
yaxbn
===
==
⎧
−
−=
⎪
⎪
⎨
⎪
−−=
⎪
⎩
∑∑∑
∑∑
Разделив оба полученных уравнения на п и вспомнив опре-
деления эмпирических моментов, можно получить выражения для
а и b в виде:
()
,
()
xy B
xB
K
a
D
=
()
()
xy B
BB
xB
K
by x
D
=−
.
Следовательно, связь между х и у можно задать в виде:
).(
)(
)(
B
Bx
Bxy
B
xx
D
K
yy −=−
3.5. Интервальное оценивание неизвестных параметров
При выборке малого объема точечная оценка может значи-
тельно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к
грубым ошибкам. Поэтому в таком случае лучше пользоваться
интервальными оценками, т. е. указывать интервал, в который с
заданной вероятностью попадает истинное значение оцениваемого
Θ = ψ (х1, х2, …, хп). Рассмотрим в качестве примера подбор параметров линей-
Если известный вид плотности распределения f(x, Θ1, Θ2 ) ной функции методом наименьших квадратов.
определяется двумя неизвестными параметрами Θ1 и Θ2, то требу- Для того, чтобы оценить параметры а и b в функции y = ax + b,
ется составить два уравнения, например найдем
ν1 = М1, µ2 = т2. ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞
⎧М ( Х ) = х В ⎜ ⎟ = xi ; ⎜ ⎟ = 1.
Отсюда ⎨ – система двух уравнений с двумя ⎝ ∂а ⎠ i ⎝ ∂b ⎠ i
⎩D( X ) = DB Тогда
неизвестными Θ1 и Θ2. Ее решениями будут точечные оценки Θ1* ⎧ n
и Θ2* – функции вариант выборки: ⎪∑ ( yi − (axi + b)) xi = 0
⎪ i =1
Θ1 = ψ1 (х1, х2, …, хп), ⎨ n
⎪
⎪⎩ ∑
Θ2 = ψ2(х1, х2, …, хп). ( yi − (axi + b)) = 0.
i =1
Метод наименьших квадратов Отсюда
Если требуется оценить зависимость величин у и х, причем
⎧ n n n
известен вид связывающей их функции, но неизвестны значения
входящих в нее коэффициентов, их величины можно оценить по
⎪ ∑
⎪ i =1
x i yi − a ∑
i =1
xi
2
− b ∑
i =1
xi = 0
имеющейся выборке с помощью метода наименьших квадратов. ⎨ n n
⎪
⎪⎩ ∑ ∑
Для этого функция у = φ (х) выбирается так, чтобы сумма квадра- y i − a xi − bn = 0.
тов отклонений наблюдаемых значений у1, у2, …, уп от φ(хi) была i =1 i =1
минимальной: Разделив оба полученных уравнения на п и вспомнив опре-
n деления эмпирических моментов, можно получить выражения для
∑(y
i =1
i − ϕ ( xi )) 2 = min . а и b в виде:
( K xy ) B ( K xy ) B
При этом требуется найти стационарную точку функции a= , b = yB − xB .
φ(x; a, b, c…), т. е. решить систему: ( Dx ) B ( Dx ) B
⎧n ⎛ ∂ϕ ⎞ Следовательно, связь между х и у можно задать в виде:
⎪∑ ( y i − ϕ ( xi ; a, b, c...))⎜ ∂a ⎟ = 0 ( K xy ) B
⎪ i =n1 ⎝ ⎠i y − yB = ( x − x B ).
⎪⎪ ( y − ϕ ( x ; a, b, c...))⎛ ∂ϕ ⎞ = 0 ( Dx ) B
∑ i
⎨ i =1
i ⎜ ⎟
⎝ ∂b ⎠ i
⎪n ⎛ ∂ϕ ⎞
3.5. Интервальное оценивание неизвестных параметров
⎪∑ ( y i − ϕ ( xi ; a, b, c...))⎜ ⎟ =0 При выборке малого объема точечная оценка может значи-
⎪ i =1 ⎝ ∂c ⎠ i
⎪⎩ ........................................ тельно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к
грубым ошибкам. Поэтому в таком случае лучше пользоваться
(решение, конечно, возможно только в случае, когда известен кон- интервальными оценками, т. е. указывать интервал, в который с
кретный вид функции φ). заданной вероятностью попадает истинное значение оцениваемого
85 86
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
