Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 44 стр.

параметра. Разумеется, чем меньше длина этого интервала, тем                                                          ⎛δ ⎞
точнее оценка параметра. Поэтому, если для оценки Θ* некоторо-                                р ( | X − a |< δ ) = 2Ф ⎜  ⎟.
го параметра Θ справедливо неравенство | Θ* – Θ | < δ, число δ > 0                                                    ⎝σ ⎠
характеризует точность оценки (чем меньше δ, тем точнее оцен-              Тогда, с учетом того, что
ка). Но статистические методы позволяют говорить только о том,                            σ                                ⎛δ п ⎞
                                                                               σ (Х ) =       , р ( | X − a |< δ ) = 2Ф ⎜       ⎟
что это неравенство выполняется с некоторой вероятностью.
                                                                                          п                                ⎜ σ ⎟ =2Ф( t ),
      Определение. Надежностью (доверительной вероятностью)                                                                ⎝    ⎠
оценки Θ* параметра Θ называется вероятность γ того, что вы-                   δ n              tσ
полняется неравенство | Θ* – Θ | < δ. Если заменить это неравен-     где t =       . Отсюда δ =    , и предыдущее равенство можно
ство двойным неравенством – δ < Θ* – Θ < δ, то получим:
                                                                                σ                n
      p( Θ* – δ < Θ < Θ* + δ ) = γ.                                  переписать так:
      Таким образом, γ есть вероятность того, что Θ попадает в                         ⎛       tσ            tσ ⎞
интервал ( Θ* – δ, Θ* + δ).
                                                                                     p⎜⎜ x B −    < a < xB +    ⎟⎟ = 2Φ (t ) = γ .                    (13)
                                                                                       ⎝        n             n⎠
      Определение. Доверительным интервалом называется ин-
                                                                           Итак, значение математического ожидания а с вероятностью
тервал, в который попадает неизвестный параметр с заданной на-
дежностью γ.                                                                                                          ⎛         tσ              tσ ⎞
                                                                     (надежностью) γ попадает в интервал ⎜⎜ x B −                      ; xB +      ⎟⎟ , где
                                                                                                                      ⎝            n             n⎠
       Построение доверительных интервалов                           значение t определяется из таблиц для функции Лапласа так, что-
       1. Доверительный интервал для оценки математического          бы выполнялось равенство 2Ф(t) = γ.
ожидания нормального распределения при известной дисперсии.                Пример 3. Найдем доверительный интервал для математи-
       Пусть исследуемая случайная величина Х распределена по        ческого ожидания нормально распределенной случайной величи-
нормальному закону с известным средним квадратическим σ, и
                                                                     ны, если объем выборки п = 49, x B = 2,8, σ = 1,4, а доверительная
требуется по значению выборочного среднего х В оценить ее ма-
                                                                     вероятность γ = 0,9.
тематическое ожидание а. Будем рассматривать выборочное сред-              Р е ш е н и е . Определим t, при котором Ф(t) = 0,9:2 = 0,45:t =
нее х В как случайную величину Х , а значения вариант выборки        = 1,645. Отсюда:
х1, х2, …, хп как одинаково распределенные независимые случай-                                1,645 ⋅ 1,4                 1,645 ⋅ 1,4
ные величины Х1, Х2, …, Хп, каждая из которых имеет математиче-                      2,8 −                  < a < 2,8 +                 ,
                                                                                                   49                         14
ское ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. При этом
                                                                     или 2,471 < a < 3,129. Найден доверительный интервал, в который
                        σ
М( Х ) = а, σ ( Х ) =       (используем свойства математического     попадает а с надежностью 0,9.
                        п
ожидания и дисперсии суммы независимых случайных величин).                 2. Доверительный интервал для оценки математического ожи-
Оценим вероятность выполнения неравенства | X − a |< δ . Приме-      дания нормального распределения при неизвестной дисперсии.
                                                                           Если известно, что исследуемая случайная величина Х рас-
ним формулу для вероятности попадания нормально распределен-
                                                                     пределена по нормальному закону с неизвестным средним квадра-
ной случайной величины в заданный интервал:
                                                                     тическим отклонением, то для поиска доверительного интервала


                                 87                                                                           88