Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 46 стр.

                          χ2                                                    3.6. Статистическая проверка статистических гипотез
                          ∫ R( χ , n)dχ = γ .                                    Определение. Статистической гипотезой называют гипо-
                          χ1
                                                                          тезу о виде неизвестного распределения генеральной совокупно-
Предположим, что q < 1, тогда неравенство (16) можно записать             сти или о параметрах известных распределений.
так:                                                                             Определение. Нулевой (основной) называют выдвинутую
                           1     1     1                                  гипотезу Н0. Конкурирующей (альтернативной) называют гипоте-
                                < <          ,
                       s (1 + q) σ s (1 − q)                              зу Н1, которая противоречит нулевой.
                                                                                 Пример 6. Пусть Н0 заключается в том, что математическое
или, после умножения на s n − 1 ,                                         ожидание генеральной совокупности а = 3. Тогда возможные ва-
                      n −1 s n −1    n −1                                 рианты Н1: а) а ≠ 3; б) а > 3; в) а < 3.
                          <       <       .                                      Определение. Простой называют гипотезу, содержащую
                     1+ q    σ      1− q
                                                                          только одно предположение, сложной – гипотезу, состоящую из
      Следовательно,                                                      конечного или бесконечного числа простых гипотез.
                          n −1      n −1                                         Пример 7. Для показательного распределения гипотеза Н0:
                               <χ<       .
                         1+ q      1− q                                   λ = 2 – простая, Н0: λ > 2 – сложная, состоящая из бесконечного
      Тогда                                                               числа простых (вида λ = с, где с – любое число, большее 2).
                           n −1
                                                                                 В результате проверки правильности выдвинутой нулевой
                          1− q                                            гипотезы (такая проверка называется статистической, так как
                           ∫ R ( χ , n ) dχ = γ .                         производится с применением методов математической статисти-
                                                                          ки) возможны ошибки двух видов: ошибка первого рода, состоя-
                           n −1
                          1+ q                                            щая в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза, и
      Существуют таблицы для распределения «хи-квадрат», из               ошибка второго рода, заключающаяся в том, что будет принята
которых можно найти q по заданным п и γ, не решая этого уравне-           неверная гипотеза.
ния. Таким образом, вычислив по выборке значение s и определив                   З а м е ч а н и е . Какая из ошибок является на практике более
по таблице значение q, можно найти доверительный интервал (16),           опасной, зависит от конкретной задачи. Например, если проверя-
в который значение σ попадает с заданной вероятностью γ.                  ется правильность выбора метода лечения больного, то ошибка
      З а м е ч а н и е . Если q > 1, то с учетом условия σ > 0 довери-   первого рода означает отказ от правильной методики, что может
тельный интервал для σ будет иметь границы                                замедлить лечение, а ошибка второго рода (применение непра-
                                                                          вильной методики) чревата ухудшением состояния больного и яв-
                            0 < σ < s (1 + q) .                    (17)   ляется более опасной.
       Пример 5. Пусть п = 20, s = 1,3. Найдем доверительный ин-                 Определение. Вероятность ошибки первого рода называет-
тервал для σ при заданной надежности γ = 0,95.                            ся уровнем значимости α.
       Р е ш е н и е . Из соответствующей таблицы находим q (n = 20,             Основной прием проверки статистических гипотез заключа-
γ = 0,95) = 0,37. Следовательно, границы доверительного интерва-          ется в том, что по имеющейся выборке вычисляется значение не-
ла: 1,3(1-0,37) = 0,819 и 1,3(1+0,37) = 1,781. Итак, 0,819 < σ < 1,781    которой случайной величины, имеющей известный закон распре-
с вероятностью 0,95.                                                      деления.

                                   91                                                                      92