Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 47 стр.

      Определение. Статистическим критерием называется слу-                 Критерий для проверки гипотезы о вероятности события
чайная величина К с известным законом распределения, служащая               Пусть проведено п независимых испытаний (п – достаточно
для проверки нулевой гипотезы.                                        большое число), в каждом из которых некоторое событие А появ-
      Определение. Критической областью называют область зна-         ляется с одной и той же, но неизвестной вероятностью р, и найде-
чений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, а об-                                    т
ластью принятия гипотезы называют область значений критерия,          на относительная частота     появлений А в этой серии испыта-
                                                                                                 п
при которых гипотезу принимают.                                       ний. Проверим при заданном уровне значимости α нулевую гипо-
      Итак, процесс проверки гипотезы состоит из следующих            тезу Н0, состоящую в том, что вероятность р равна некоторому
этапов:                                                               значению р0.
      1) выбирается статистический критерий К;                              Примем в качестве статистического критерия случайную ве-
      2) вычисляется его наблюдаемое значение Кнабл по имею-          личину
щейся выборке;
      3) поскольку закон распределения К известен, определяется                              ⎛M       ⎞
                                                                                             ⎜ − p0 ⎟ n
                                                                                               n
                                                                                           U=⎝        ⎠
(по известному уровню значимости α) критическое значение kкр,
                                                                                                        ,                              (18)
разделяющее критическую область и область принятия гипотезы                                      p0 q0
(например, если р(К > kкр) = α, то справа от kкр располагается кри-
тическая область, а слева – область принятия гипотезы);               имеющую нормальное распределение с параметрами M(U) = 0,
      4) если вычисленное значение Кнабл попадает в область при-      σ(U) = 1 (т. е. нормированную). Здесь q0 = 1 – p0. Вывод о нор-
нятия гипотезы, то нулевая гипотеза принимается, если в критиче-      мальном распределении критерия следует из теоремы Лапласа
скую область, то нулевая гипотеза отвергается.                        (при достаточно большом п относительную частоту можно при-
      Различают отдельные виды критических областей:                  ближенно считать нормально распределенной с математическим
      – правостороннюю критическую область, определяемую не-                                                                   pq
равенством K > kкр ( kкр > 0);                                        ожиданием р и средним квадратическим отклонением            ).
                                                                                                                               n
      – левостороннюю критическую область, определяемую не-
                                                                            Критическая область строится в зависимости от вида конку-
равенством K < kкр ( kкр < 0);
                                                                      рирующей гипотезы.
      – двустороннюю критическую область, определяемую нера-
                                                                            1) Если Н0: р = р0, а Н1: р ≠ р0, то критическую область нуж-
венствами K < k1, K > k2 (k2 > k1).
                                                                      но построить так, чтобы вероятность попадания критерия в эту
      Определение. Мощностью критерия называют вероятность
                                                                      область равнялась заданному уровню значимости α. При этом
попадания критерия в критическую область при условии, что вер-
                                                                      наибольшая мощность критерия достигается тогда, когда критиче-
на конкурирующая гипотеза.
                                                                      ская область состоит из двух интервалов, вероятность попадания в
      Если обозначить вероятность ошибки второго рода (приня-
                                                                                                  α
                                                                      каждый из которых равна . Поскольку U симметрична относи-
тия неправильной нулевой гипотезы) β, то мощность критерия
равна 1 – β. Следовательно, чем больше мощность критерия, тем                                      2
меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Поэтому             тельно оси Оу, вероятность ее попадания в интервалы (-∞; 0) и (0;
после выбора уровня значимости следует строить критическую            +∞) равна 0,5, следовательно, критическая область тоже должна
область так, чтобы мощность критерия была максимальной.               быть симметрична относительно Оу. Поэтому икр определяется по


                                93                                                                    94