Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

97
левая гипотеза принимается; если |U
набл
| > u
кр
, то нулевая гипотеза
отвергается;
если Н
1
: М(
Х
) > а
0
, то и
кр
:
2
21
)(
α
−
=
кр
иФ
, критическая об-
ласть правосторонняя, и, если U
набл
< u
кр
, то нулевая гипотеза при-
нимается; если U
набл
> u
кр
, то нулевая гипотеза отвергается;
если Н
1
: М(
Х
) < а
0
, то и
кр
:
2
21
)(
α
−
=
кр
иФ
, критическая об-
ласть левосторонняя, и, если U
набл
> – u
кр
, то нулевая гипотеза
принимается; если U
набл
< – u
кр
, то нулевая гипотеза отвергается.
2) Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.
В этом случае выберем в качестве критерия случайную ве-
личину
S
naX
T
)(
0
−
=
, (21)
где S – исправленное среднее квадратическое отклонение. Такая
случайная величина имеет распределение Стьюдента с k = n – 1
степенями свободы. Рассмотрим те же, что и в предыдущем случае,
конкурирующие гипотезы и соответствующие им критические об-
ласти. Предварительно вычислим наблюдаемое значение критерия:
S
naх
T
В
набл
)(
0
−
=
. (22)
Если Н
1
: М(
Х
) ≠ а
0
, то критическая точка t
двуст.кр.
находится по
таблице критических точек распределения Стьюдента по извест-
ным α и k = n – 1:
если | T
набл
| < t
двуст.кр.
, то нулевая гипотеза принимается;
если | T
набл
| > t
двуст.кр.
, то нулевая гипотеза отвергается;
если Н
1
: М(
Х
) > а
0
, то по соответствующей таблице нахо-
дят t
правост.кр.
(α, k) – критическую точку правосторонней критиче-
ской области.
Нулевая гипотеза принимается, если T
набл
< t
правост.кр.
.
При конкурирующей гипотезе Н
1
: М(
Х
) < а
0
критическая
область является левосторонней, и нулевая гипотеза принимается
при условии T
набл
> – t
правост.кр.
. Если T
набл
<-t
правост.кр.
, нулевую гипо-
тезу отвергают.
98
3.7. Критерии проверки гипотезы о виде закона распре-
деления случайной величины
В предыдущем параграфе рассматривались гипотезы, в ко-
торых закон распределения генеральной совокупности предпола-
гался известным. Теперь займемся проверкой гипотез о предпола-
гаемом законе неизвестного распределения, т. е. будем проверять
нулевую гипотезу о том, что генеральная совокупность распреде-
лена по некоторому известному закону. Обычно статистические
критерии для проверки таких гипотез называются критериями
со-
гласия.
Критерий Пирсона
Достоинством критерия Пирсона является его универсаль-
ность: с его помощью можно проверять гипотезы о различных за-
конах распределения.
1. Проверка гипотезы о нормальном распределении
Пусть получена выборка достаточно большого объема п с
большим количеством различных значений вариант. Для удобства
ее обработки разделим интервал от наименьшего до наибольшего
из значений вариант на s равных частей и будем считать, что зна-
чения вариант, попавших в каждый интервал, приближенно равны
числу, задающему
середину интервала. Подсчитав число вариант,
попавших в каждый интервал, составим так называемую сгруппи-
рованную выборку:
варианты………..х
1
, х
2
, …, х
s
частоты………….п
1
, п
2
, …, п
s
,
где х
i
– значения середин интервалов, а п
i
– число вариант, попав-
ших в i-й интервал (эмпирические частоты).
По полученным данным можно вычислить выборочное
среднее
В
х
и выборочное среднее квадратическое отклонение σ
В
.
Проверим предположение, что генеральная совокупность распре-
делена по нормальному закону с параметрами M(X) =
В
х
, D(X) =
2
В
σ
. Тогда можно найти количество чисел из выборки объема п,
которое должно оказаться в каждом интервале при этом предпо-
ложении (т. е. теоретические частоты). Для этого по таблице зна-
левая гипотеза принимается; если |Uнабл| > uкр, то нулевая гипотеза                3.7. Критерии проверки гипотезы о виде закона распре-
отвергается;                                                                  деления случайной величины
                                                1 − 2α
      если Н1: М( Х ) > а0, то икр: Ф (и кр ) =        , критическая об-            В предыдущем параграфе рассматривались гипотезы, в ко-
                                                   2                          торых закон распределения генеральной совокупности предпола-
ласть правосторонняя, и, если Uнабл < uкр, то нулевая гипотеза при-           гался известным. Теперь займемся проверкой гипотез о предпола-
нимается; если Uнабл > uкр, то нулевая гипотеза отвергается;                  гаемом законе неизвестного распределения, т. е. будем проверять
                                                1 − 2α                        нулевую гипотезу о том, что генеральная совокупность распреде-
      если Н1: М( Х ) < а0, то икр: Ф (и кр ) =        , критическая об-
                                                   2                          лена по некоторому известному закону. Обычно статистические
ласть левосторонняя, и, если Uнабл > – uкр, то нулевая гипотеза               критерии для проверки таких гипотез называются критериями со-
принимается; если Uнабл < – uкр, то нулевая гипотеза отвергается.             гласия.
      2) Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.
      В этом случае выберем в качестве критерия случайную ве-                       Критерий Пирсона
личину                                                                              Достоинством критерия Пирсона является его универсаль-
                                     ( X − a0 ) n                             ность: с его помощью можно проверять гипотезы о различных за-
                              T=                  ,                   (21)    конах распределения.
                                           S
где S – исправленное среднее квадратическое отклонение. Такая                        1. Проверка гипотезы о нормальном распределении
случайная величина имеет распределение Стьюдента с k = n – 1                         Пусть получена выборка достаточно большого объема п с
степенями свободы. Рассмотрим те же, что и в предыдущем случае,               большим количеством различных значений вариант. Для удобства
конкурирующие гипотезы и соответствующие им критические об-                   ее обработки разделим интервал от наименьшего до наибольшего
ласти. Предварительно вычислим наблюдаемое значение критерия:                 из значений вариант на s равных частей и будем считать, что зна-
                                    ( х В − a0 ) n                            чения вариант, попавших в каждый интервал, приближенно равны
                          Tнабл =                  .                  (22)
                                           S                                  числу, задающему середину интервала. Подсчитав число вариант,
                                                                              попавших в каждый интервал, составим так называемую сгруппи-
Если Н1: М( Х ) ≠ а0, то критическая точка tдвуст.кр. находится по
                                                                              рованную выборку:
таблице критических точек распределения Стьюдента по извест-
                                                                                               варианты………..х1, х2, …, хs
ным α и k = n – 1:
                                                                                               частоты………….п1, п2, …, пs ,
       если | Tнабл | < tдвуст.кр., то нулевая гипотеза принимается;
                                                                              где хi – значения середин интервалов, а пi – число вариант, попав-
       если | Tнабл | > tдвуст.кр., то нулевая гипотеза отвергается;
                                                                              ших в i-й интервал (эмпирические частоты).
       если Н1: М( Х ) > а0, то по соответствующей таблице нахо-                     По полученным данным можно вычислить выборочное
дят tправост.кр.(α, k) – критическую точку правосторонней критиче-
                                                                              среднее х В и выборочное среднее квадратическое отклонение σВ.
ской области.
       Нулевая гипотеза принимается, если Tнабл < tправост.кр..               Проверим предположение, что генеральная совокупность распре-
       При конкурирующей гипотезе Н1: М( Х ) < а0 критическая                 делена по нормальному закону с параметрами M(X) = х В , D(X) =
область является левосторонней, и нулевая гипотеза принимается                σ В2 . Тогда можно найти количество чисел из выборки объема п,
при условии Tнабл > – tправост.кр.. Если Tнабл<-tправост.кр., нулевую гипо-   которое должно оказаться в каждом интервале при этом предпо-
тезу отвергают.                                                               ложении (т. е. теоретические частоты). Для этого по таблице зна-
                                     97                                                                      98

Страницы