Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 50 стр.

чений функции Лапласа найдем вероятность попадания в i-й ин-                                                    s
                                                                                                                      (ni − ni′ ) 2
тервал:                                                                                              χ набл
                                                                                                       2
                                                                                                            =∑                      ,              (23`)
                                                                                                               i =1       ni′
                              ⎛ b − xB    ⎞      ⎛ a − xB   ⎞
                       pi = Φ⎜⎜ i         ⎟⎟ − Φ⎜⎜ i        ⎟⎟ ,          а по таблице критических точек распределения χ2 найти критиче-
                              ⎝ σB         ⎠     ⎝ σB        ⎠            скую точку χ кр
                                                                                       2
                                                                                          (α , k ) , используя известные значения α и k = s – 3.
где аi и bi – границы i-го интервала. Умножив полученные вероят-
                                                                          Если χ набл
                                                                                 2
                                                                                      < χ kp2 – нулевую гипотезу принимают, при χ набл
                                                                                                                                  2
                                                                                                                                       > χ kp2
ности на объем выборки n, найдем теоретические частоты: пi =n·pi.
Наша цель – сравнить эмпирические и теоретические частоты, ко-            ее отвергают.
торые, конечно, отличаются друг от друга, и выяснить, являются
ли эти различия несущественными, не опровергающими гипотезу                    2. Проверка гипотезы о равномерном распределении
о нормальном распределении исследуемой случайной величины,                     При использовании критерия Пирсона для проверки гипоте-
или они настолько велики, что противоречат этой гипотезе. Для             зы о равномерном распределении генеральной совокупности с
этого используется критерий в виде случайной величины                     предполагаемой плотностью вероятности
                                    s
                                          (ni − ni′ ) 2                                                    ⎧ 1
                              χ2 = ∑                    .          (23)                                    ⎪       , x ∈ ( a, b )
                                              ni′                                                 f ( x) = ⎨ b − a
                                   i =1
                                                                                                           ⎪⎩ 0, x ∉ (a, b)
      Смысл ее очевиден: суммируются квадраты отклонений эм-
пирических частот от соответствующих теоретических частот.                необходимо, вычислив по имеющейся выборке значение x B , оце-
Можно доказать, что вне зависимости от реального закона распре-           нить параметры а и b по формулам:
деления генеральной совокупности закон распределения случай-                              а* = х В − 3σ В , b* = x B + 3σ B ,         (25)
ной величины (23) при п → ∞ стремится к закону распределения
                                                                          где а* и b* – оценки а и b. Действительно, для равномерного рас-
χ 2 с числом степеней свободы k = s – 1 – r, где r – число пара-          пределения
метров предполагаемого распределения, оцененных по данным
                                                                                         a+b                                   (a − b) 2 a − b
выборки. Нормальное распределение характеризуется двумя па-                       М(Х) =     , σ ( x) = D( X ) =                        =      ,
раметрами, поэтому k = s – 3. Для выбранного критерия строится                            2                                       12      2 3
правосторонняя критическая область, определяемая условием                 откуда можно получить систему для определения а* и b*:
                    p( χ 2 > χ kp2 (α , k )) = α ,          (24)                                       ⎧ b * +a *
                                                                                                                   = xB
где α – уровень значимости. Следовательно, критическая область                                         ⎪⎪ 2
                                                                                                        ⎨ b * −a *      ,
задается неравенством χ 2 > χ kp2 (α , k ), а область принятия гипоте-                                  ⎪          =σB
зы – χ 2 < χ kp2 (α , k ) .                                                                             ⎪⎩ 2 3
      Итак, для проверки нулевой гипотезы Н0 – генеральная со-            решением которой являются выражения (25). Затем, предполагая,
вокупность распределена нормально – нужно вычислить по вы-                                    1
                                                                          что f ( x ) =            , можно найти теоретические частоты по фор-
борке наблюдаемое значение критерия:                                                      b * −a *
                                                                          мулам


                                          99                                                                   100