Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 48 стр.

                                                                  1−α            Проверим при уровне значимости α = 0,01 нулевую гипотезу Н0:
таблице значений функции Лапласа из условия Ф (и кр ) =               , а
                                                                   2             р = 0,1 при конкурирующей гипотезе Н1: р > 0,1.
критическая область имеет вид ( −∞;−и кр ) ∪ (и кр ;+∞ ) .                              Р е ш е н и е . Найдем
                                                                                                                 (0,12 − 0,1) 50
      З а м е ч а н и е . Предполагается, что используется таблица                                      U набл =                   = 0,471.
                                                         х       t2                                                   0,1 ⋅ 0,9
                                                             −
значений функции Лапласа, заданной в виде Ф( х) = е      ∫
                                                         0
                                                                  2
                                                                      dt , где          Критическая область является правосторонней, а икр нахо-
                                                                                                                   1 − 2 ⋅ 0,01
                                                                                 дим из равенства Ф(икр) =                      = 0,49. Из таблицы значений
нижний предел интегрирования равен 0, а не -∞. Функция Лапла-                                                           2
са, заданная таким образом, является нечетной, а ее значения на                  функции Лапласа определяем икр = 2,33. Итак, Uнабл < uкр, и гипо-
0,5 меньше, чем значения стандартной функции Ф(х).                               теза о том, что р = 0,1, принимается.
      Далее нужно вычислить наблюдаемое значение критерия:
                                  ⎛т      ⎞                                            Критерий для проверки гипотезы о математическом
                                  ⎜ − p0 ⎟ n                                     ожидании
                                    n
                        U набл   =⎝       ⎠  .                           (19)          Пусть генеральная совокупность Х имеет нормальное рас-
                                      p0 q0                                      пределение, и требуется проверить предположение о том, что ее
       Если |Uнабл| < uкр, то нулевая гипотеза принимается.                      математическое ожидание равно некоторому числу а0. Рассмотрим
       Если |Uнабл| > uкр, то нулевая гипотеза отвергается.                      две возможности.
       2) Если конкурирующая гипотеза Н1: р > p0, то критическая                       1) Известна дисперсия σ2 генеральной совокупности. Тогда
область определяется неравенством U > uкр, т. е. является право-                 по выборке объема п найдем выборочное среднее х В и проверим
сторонней, причем р(U > uкр) = α.                                                нулевую гипотезу Н0: М(Х) = а0.
                                1       1 − 2α
       Тогда р(0 < U < u кр ) = − α =           .                                      Учитывая, что выборочное среднее Х является несмещен-
                                2          2
                                                                                 ной оценкой М(Х), то есть М( Х ) = М(Х), можно записать нулевую
       Следовательно, икр можно найти по таблице значений функ-
                                             1 − 2α                              гипотезу так: М( Х ) = а0. Для ее проверки выберем критерий
ции Лапласа из условия, что Ф(и кр ) =              . Вычислим наблю-
                                                2                                                           X − a0 ( X − a0 ) n
                                                                                                      U=           =            .                     (20)
даемое значение критерия по формуле (19).                                                                   σ (X )      σ
       Если Uнабл < uкр, то нулевая гипотеза принимается.                              Это случайная величина, имеющая нормальное распределе-
       Если Uнабл > uкр, то нулевая гипотеза отвергается.                        ние, причем, если нулевая гипотеза справедлива, то М(U) = 0,
       3) Для конкурирующей гипотезы Н1: р < p0 критическая об-                  σ(U) = 1.
ласть является левосторонней и задается неравенством U <- uкр,                         Выберем критическую область в зависимости от вида кон-
где икр вычисляется так же, как в предыдущем случае.                             курирующей гипотезы:
       Если Uнабл > – uкр, то нулевая гипотеза принимается.                                                                      1−α
       Если Uнабл < – uкр, то нулевая гипотеза отвергается.                            если Н1: М( Х ) ≠ а0, то икр: Ф (и кр ) =      , критическая об-
                                                                                                                                  2
       Пример 8. Пусть проведено 50 независимых испытаний, и
относительная частота появления события А оказалась равной 0,12.                                              ( х − a0 ) n
                                                                                 ласть двусторонняя, U набл =              , и, если |Uнабл| < uкр, то ну-
                                                                                                                    σ
                                   95                                                                               96