Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 45 стр.

для ее математического ожидания построим новую случайную                   Пример 4. Пусть объем выборки п = 25, х В = 3, s = 1,5.
величину                                                                   Р е ш е н и е . Найдем доверительный интервал для а при
                                  xB − a                             γ = 0,99. Из таблицы находим, что tγ (п = 25, γ = 0,99) = 2,797. То-
                            T=           ,                    (14)
                                    s                                          2,797 ⋅ 1,5                2,797 ⋅ 1,5
                                                                     гда 3 −                 < a < 3+                             , или 2,161< a < 3,839 – до-
                                       n                                           25                                25
где x B – выборочное среднее, s – исправленная дисперсия, п –        верительный интервал, в который попадает а с вероятностью 0,99.
объем выборки. Эта случайная величина, возможные значения ко-
                                                                            3. Доверительные интервалы для оценки среднего квадрати-
торой будем обозначать t, имеет распределение Стьюдента с
                                                                     ческого отклонения нормального распределения.
k = n – 1 степенями свободы.
                                                                            Будем искать для среднего квадратического отклонения
      Поскольку плотность распределения Стьюдента
                                                      n
                                                                     нормально распределенной случайной величины доверительный
                                                  −                  интервал вида (s – δ, s +δ), где s – исправленное выборочное сред-
                                     ⎛    t2 ⎞        2
                     s (t , n) = Bn ⎜⎜1 +    ⎟⎟           ,          нее квадратическое отклонение, а для δ выполняется условие:
                                     ⎝ n −1⎠                         p (|σ – s| < δ ) = γ.
где                                                                         Запишем это неравенство в виде:
                                 ⎛n⎞                                                             ⎛ δ⎞           ⎛ δ⎞
                               Γ⎜ ⎟                                                            s ⎜1 − ⎟ < σ < s ⎜1 + ⎟
                                 ⎝2⎠                                                             ⎝   s⎠         ⎝   s⎠
                     Bn =                   ,
                                                                                              δ
                                    ⎛ n −1⎞                          или, обозначив q =            ,
                          π (n − 1)Γ⎜     ⎟                                                   s
                                    ⎝ 2 ⎠
явным образом не зависит от а и σ, можно задать вероятность ее                             s (1 − q ) < σ < s (1 + q ) .     (16)
попадания в некоторый интервал (- tγ, tγ), учитывая четность плот-          Рассмотрим случайную величину χ, определяемую по фор-
ности распределения, следующим образом:                              муле
                 ⎛               ⎞                                                                               s
                 ⎜               ⎟                                                                      χ=             n −1 ,
                   x −a
                                      tγ
                                                                                                             σ
                p⎜ B    < tγ     ⎟ = 2 s (t , n)dt = γ .
                                      ∫0                             которая распределена по закону «хи-квадрат» с п-1 степенями
                 ⎜ s             ⎟
                 ⎜               ⎟                                   свободы. Плотность ее распределения
                 ⎝   n           ⎠                                                                                                    −
                                                                                                                                          χ2

      Отсюда получаем:                                                                                                χ     n−2
                                                                                                                                  e       2
                                                                                                  R ( χ , n) =       n −3
                    ⎛       tγ s            tγ s ⎞                                                                           ⎛ n −1⎞
                  p⎜⎜ x B −      < a < xB +      ⎟⎟ = γ .     (15)                                               2     2
                                                                                                                            Γ⎜     ⎟
                    ⎝         n               n   ⎠                                                                          ⎝ 2 ⎠
      Таким образом, получен доверительный интервал для а, где       не зависит от оцениваемого параметра σ, а зависит только от объ-
tγ можно найти по соответствующей таблице при заданных п и γ.        ема выборки п. Преобразуем неравенство (16) так, чтобы оно при-
                                                                     няло вид χ1 < χ < χ2. Вероятность выполнения этого неравенства
                                                                     равна доверительной вероятности γ, следовательно,

                                  89                                                                             90