Конкурсные задачи по математике (Вступительные экзамены 1998 г.). Ишанов С.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

13
4. Пусть первая, вторая и третья бригады, работая в отдельности, укла-
дывают соответственно по
х км, у км и z км в месяц. Тогда, согласно усло-
вию задачи:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
+=++
=+
.4
y
zy
),yx(2zyx
,15zx
Отсюда
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+
=
+
.zy3
,zyx
,15zx
Исключаем из этой системы
х и у. Вычитая из 1-го уравнения 2-е, получаем
z-y=15-z.
Откуда
y=2z-15.
Тогда
3(2
z-15)=z,
5
z=45,
z=9.
Ответ: 9 км.
5. Выражая из уравнения
у через х, получаем
3x
7x13x6x
y
23
−
++−
= ,
или
.
3x
19
4x3xy
2
−
++−=
Чтобы при целом
х неизвестное у тоже было целым, необходимо и доста-
точно чтобы
3x
19
−
было целым. Это возможно тогда и только тогда, когда
x-3=± 1 или
193x ±=− . Таким образом, получаем четыре значения для
х :
2, 4, -16, 22.
Находим соответствующие значения
у :
-17, 27, 307, 423.
Ответ: (-16,307), (2,-17), (4, 27), (22, 423). 
   4. Пусть первая, вторая и третья бригады, работая в отдельности, укла-
дывают соответственно по х км, у км и z км в месяц. Тогда, согласно усло-
вию задачи:
                           ⎧
                           ⎪x + z = 15,
                           ⎪⎪
                            ⎨x + y + z = 2( x + y),
                            ⎪y + z
                            ⎪       = 4.
                            ⎪⎩ y
Отсюда
                                 ⎧x + z = 15,
                                 ⎪
                                 ⎨x + y = z,
                                 ⎪3y = z.
                                 ⎩
Исключаем из этой системы х и у. Вычитая из 1-го уравнения 2-е, получаем
                                  z-y=15-z.
Откуда
                                   y=2z-15.
Тогда
                                  3(2z-15)=z,
                                  5z=45,
                                  z=9.
   Ответ: 9 км.

    5. Выражая из уравнения у через х, получаем
                                 x 3 − 6x 2 + 13x + 7
                            y=                        ,
                                         x−3
или
                                                 19
                            y = x 2 − 3x + 4 +        .
                                                x−3
Чтобы при целом х неизвестное у тоже было целым, необходимо и доста-
точно чтобы
                                        19
                                       x −3
было целым. Это возможно тогда и только тогда, когда x-3= ± 1 или
x − 3 = ±19 . Таким образом, получаем четыре значения для х :
                                  2, 4, -16, 22.
Находим соответствующие значения у :
                               -17, 27, 307, 423.
    Ответ: (-16,307), (2,-17), (4, 27), (22, 423).

                                                                       13

Страницы