Конкурсные задачи по математике (Вступительные экзамены 1998 г.). Ишанов С.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

12
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−−
=−−+
.0)
2
x
1(log)1a3(
,0))1x(1(log)2a(
2
11
2
2
3
2
Отсюда получаем четыре системы:
⎩
⎨
⎧
=−
=
+
,01a3
,02a
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−−
,0)
2
x
1(log
,0))1x(1(log
2
11
2
3
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=
+
,0)
2
x
1(log
,02a
2
11
⎩
⎨
⎧
=−
=−−
.01a3
,0))1x(1(log
2
3
Первые две системы несовместны.
Третья система дает:
).2,0(0x ,2a ∉=−=
Четвертая система:
.1x ,
3
1
a ==
Ответ: если
,
3
1
a = то x=1, при других значениях а равенство невоз-
можно.
3. ОДЗ неравенства определяется системой:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠−
>−
≥
,24x
,04x
,5x
откуда
⎢
⎢
⎣
⎡
+>
+<≤
.24x
,24x5
При
х=5 получаем
.0
1)4x(log
5x
2
=
−−
−
При
х>5 имеем
.24x
,24x
,2log)4x(log
,11)4x(log
22
2
+>
>−
>−
>
−
−
Ответ:
{}
),24(5 +∞+∪ . 
                        ⎧(a + 2) 2 log 3 (1 − ( x − 1) 2 ) = 0,
                        ⎪
                        ⎨         2              x2
                        ⎪(3a − 1) log11 (1 − ) = 0.
                        ⎩                        2
Отсюда получаем четыре системы:
                                             ⎧log 3 (1 − ( x − 1) 2 ) = 0,
              ⎧a + 2 = 0,                    ⎪
              ⎨                              ⎨             x2
              ⎩ 3a − 1 = 0 ,                 ⎪log11 (1 − ) = 0,
                                             ⎩              2
              ⎧a + 2 = 0,
              ⎪                             ⎧log 3 (1 − ( x − 1) 2 ) = 0,
              ⎨            x  2             ⎨
              ⎪log11 (1 − ) = 0,            ⎩3a − 1 = 0.
              ⎩              2
Первые две системы несовместны.
Третья система дает: a = −2, x = 0 ∉ (0, 2 ).
                         1
Четвертая система: a = , x = 1.
                         3
                      1
   Ответ: если a = , то x=1, при других значениях а равенство невоз-
                      3
можно.


   3. ОДЗ неравенства определяется системой:
              ⎧x ≥ 5,
              ⎪                                ⎡5 ≤ x < 4 + 2 ,
              ⎨x − 4 > 0,       откуда         ⎢
              ⎪                                ⎢⎣ x > 4 + 2 .
              ⎩x − 4 ≠ 2 ,
При х=5 получаем
                                 x −5
                                              = 0.
                           log 2 ( x − 4) − 1
При х>5 имеем
                           log   2
                                     ( x − 4) − 1 > 1,
                           log   2
                                     ( x − 4) > log   2
                                                          2,
                           x − 4 > 2,
                            x > 4 + 2.
     Ответ: {5} ∪ ( 4 + 2 ,+∞) .



12

Страницы