Конкурсные задачи по математике (Вступительные экзамены 1998 г.). Ишанов С.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

11
4. Группу людей попытались построить в колонну по 8 человек в ряд,
но один ряд оказался неполным. Когда ту же группу людей перестроили по
7 человек в ряд, то все ряды оказались полными, а число рядов оказалось
на 2 больше. Если бы тех же людей построить по 5 человек в ряд, то рядов
было бы
еще на 7 больше, причем один ряд был бы неполным. Сколько
людей было в группе?
5. Решить уравнение
x3cos
2
x2cos
x3cos
x2sin
x3sin
=− .
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Специальность «Математика»
Вариант 1
1. ОДЗ уравнения: Zn ,n 2
2
x ∈π+
π
≠ .
Исходное уравнение в ОДЗ равносильно
⎢
⎣
⎡
=
=
⇒=−⇒=⇒−=
.1xcos
,0xcos
0)1x(cosxcosxcosxcosxsin1xcos
22
Откуда
Zmk, m, 2x k,
2
x ∈π=π+
π
=
.
В ОДЗ попадают лишь
Zm,k m, 2x ,
2
-k 2x ∈π=
π
π= .
Ответ:
Zm ,k m, 2x ,)1k4(
2
x ∈π=−
π
= .
2. Заданное равенство допустимо лишь при
.2x0
0
2
x
1
,0xx2
2
2
<<⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>−
>−
Параметр
а может принимать любые значения.
Перепишем равенство в виде:
.0)
2
x
1(log)1a3())1x(1(log)2a(
2
11
22
3
2
=−−+−−+
Легко видеть, что в левой части равенства оба слагаемых неположительны,
поэтому равенство возможно лишь при условии: 
    4. Группу людей попытались построить в колонну по 8 человек в ряд,
но один ряд оказался неполным. Когда ту же группу людей перестроили по
7 человек в ряд, то все ряды оказались полными, а число рядов оказалось
на 2 больше. Если бы тех же людей построить по 5 человек в ряд, то рядов
было бы еще на 7 больше, причем один ряд был бы неполным. Сколько
людей было в группе?
                         sin 3x cos 3x    2
    5. Решить уравнение        −       =      .
                         sin 2x cos 2x cos 3x



                           ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

                        Специальность «Математика»

                                    Вариант 1
                        π
   1. ОДЗ уравнения: x ≠  + 2 π n, n ∈ Z .
                        2
   Исходное уравнение в ОДЗ равносильно
                                                                    ⎡cos x = 0,
    cos x = 1 − sin 2 x ⇒ cos x = cos 2 x ⇒ cos x (cos x − 1) = 0 ⇒ ⎢
                                                                    ⎣cos x = 1.
              π
Откуда x = + π k, x = 2π m, k, m ∈ Z .
              2
                                    π
В ОДЗ попадают лишь x = 2 π k - , x = 2π m, k, m ∈ Z .
                                    2
                π
   Ответ: x = ( 4 k − 1), x = 2 π m, k, m ∈ Z .
                2

   2. Заданное равенство допустимо лишь при
                       ⎧2x − x 2 > 0,
                       ⎪
                       ⎨ x2           ⇒ 0 < x < 2.
                       ⎪1 −    >0
                       ⎩    2
Параметр а может принимать любые значения.
   Перепишем равенство в виде:
                    2                 2           2           x2
           (a + 2) log 3 (1 − ( x − 1) ) + (3a − 1) log11 (1 − ) = 0.
                                                              2
Легко видеть, что в левой части равенства оба слагаемых неположительны,
поэтому равенство возможно лишь при условии:
                                                                                  11

Страницы