Конкурсные задачи по математике (Вступительные экзамены 1998 г.). Ишанов С.А - 10 стр.

                    Специальность «Менеджмент»

                              Вариант 1
   1. Решить уравнение log 3 (2 x + 1) = 2 log 2 x +1 3 + 1 .
   2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система не-
равенств
                         ⎧ 2                2    1− a
                         ⎪ x  +  2 xy − 7 y   ≥         ,
                         ⎨                       a +1
                         ⎪3x 2 + 10xy − 5y 2 ≤ −2
                         ⎩
имеет решение.
                                   = (3x − 5)log 1 (2+5x − x ) .
                            1                                 2
   3. Решить уравнение
                         3x − 5                   25

   4. Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью 80 тонн, но один ва-
гон оказался загруженным не полностью. Тогда весь груз переложили в ва-
гоны вместимостью 60 тонн, однако понадобилось на восемь вагонов
больше и при этом все равно один вагон оказался не полностью загружен-
ным. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью 50 тонн, однако
понадобилось еще на 5 вагонов больше, при этом все вагоны были загру-
жены полностью. Сколько тонн груза было?
                         cos x cos 5x
   5. Решить уравнение           −          = 8 sin x sin 3x .
                        cos 3x cos x

                              Вариант 2
   1. Решить уравнение 2 log 4 (3x − 2 ) + 2 log 3x − 2 4 = 5 .
   2. Найти все значения параметра b, при каждом из которых система не-
равенств
                        ⎧5x 2 − 4 xy + 2 y 2 ≥ 3,
                        ⎪
                        ⎨ 2                2     2b − 1
                        ⎪7x + 4xy + 2 y ≤
                        ⎩                        2b + 5
имеет решение.
                                  = (2 x − 1)log 1 (1+ 7 x −2 x ).
                           1                                   2
   3. Решить уравнение
                          2x − 1                 4

   4. Жидкость налита в бутыли вместимостью по 40 л, при этом одна из
бутылей оказалась не совсем полной. Если эту же жидкость перелить в бу-
тыли вместимостью по 50 л, то такие бутыли будут заполнены полностью,
но при этом понадобится на 5 бутылей меньше. Если эту же жидкость раз-
лить по бутылям емкостью по 70 л, то понадобится еще на четыре бутыли

                                                                      9