Конкурсные задачи по математике (Вступительные экзамены 1998 г.). Ишанов С.А - 8 стр.

                      ⎧      1 10                 10      1
                      ⎪⎪ x + +         −x+y = +y+ ,
                             y      3              3      y
                       ⎨
                       ⎪x 2 + y 2 = 82 ,
                       ⎪⎩             9
удовлетворяющие условиям x > 0, y < 0 .
   4. Велосипедист проезжает половину расстояния от пункта А до пункта
В на два часа быстрее, чем пешеход проходит треть расстояния от А до В.
За время, требуемое велосипедисту на весь путь от А до В, пешеход про-
ходит 24 км пути. Если бы скорость велосипедиста увеличилась на 7
км/час, то за время, затрачиваемое пешеходом на прохождение 18 км, он
смог бы покрыть путь от А до В и проехать еще 3 км. Найти скорость пе-
шехода.
                             2 sin 4 x + 3 cos 2 x
   5. Дана функция f (x ) =                        . Найти:
                              2 cos 4 x + sin 2 x
                                 15
   1) корни уравнения f (x ) = ;
                                  7
   2) наибольшее и наименьшее значения функции f (x ) .


                                  Вариант 3

   1. Разность     20 7 − 53 − 20 7 + 53 является целым числом. Найти
это число.
    2. Решить неравенство
                    (      )           (     )                     ⎛5         ⎞
           log 2 x + 2 1 − 9 x < log 2 x + 2 1 + 3 x + log 2 x + 2 ⎜ + 3 x −1 ⎟ .
                                                                   ⎝9         ⎠
   3. Найти все решения системы уравнений
                         ⎧3          13              13         3
                         ⎪⎪ − y +        +x+y = +y+ ,
                             y        2               2         y
                          ⎨
                          ⎪x 2 + y 2 = 145 ,
                          ⎪⎩             4
удовлетворяющие условиям x < 0, y < 0 .
   4. Первая бригада разгрузила баржу. Вторая бригада, работая на 5 часов
меньше первой, выгрузила бы треть всего груза. При повышении произво-
дительности труда каждой из бригад в три раза первой бригаде для раз-
грузки баржи потребовалось бы на один час больше, чем второй бригаде на
выгрузку половины всего груза. Если бы первая бригада свою почасовую

                                                                               7