Конкурсные задачи по математике (Вступительные экзамены 1998 г.). Ишанов С.А - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

1
6
Складывая эти неравенства, получаем
0
x
1
x
6
13
≥++ .
Откуда, т.к. по условию
х<0,
6
x
2
+13x+6
≤
0. (1)
Далее, так как
,x
6
13
y0 +≤<
то
,x
6
13
y
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+≤
откуда
.x
6
13
xyx
2
222
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++≤+
Согласно условию, отсюда
.
36
97
)x
6
13
x
2
2
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
Имеем теперь
,
36
97
xx
3
13
36
169
x
22
≥+++
,02x
3
13
x2
2
≥++
06x13x6
2
≥
+
+
. (2)
Сравнивая (1) и (2), заключаем, что 06x13x6
2
=
+
+
.
Решая это уравнение, находим
.
3
2
x ,
2
3
x
21
−=−=
Из условий
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
=+
0y
,
36
97
yx
22
находим теперь, что
.
2
3
y ,
3
2
y
21
=−=
Проверкой убеждаемся, что обе пары чисел:
)
3
2
,
2
3
(− , )
2
3
,
3
2
(− - удовлетво-
ряют системе уравнений и неравенств.
Ответ:
)
2
3
,
3
2
( ),
3
2
,
2
3
( −− . 
Складывая эти неравенства, получаем
                             13       1
                                + x + ≥ 0.
                              6       x
Откуда, т.к. по условию х<0,
                              6x2+13x+6 ≤ 0.                       (1)
Далее, так как
                                     13
                             0 < y ≤ + x,
                                      6
то
                                               2
                                   2  ⎛ 13 ⎞
                                  y ≤ ⎜ + x⎟ ,
                                      ⎝6   ⎠
откуда
                                                   2
                          2        ⎛ 13
                                   2   2⎞
                       x + y ≤ x + ⎜ + x⎟ .
                                   ⎝6   ⎠
Согласно условию, отсюда
                                           2
                              ⎛ 13
                              2      ⎞  97
                          x + ⎜ + x) ⎟ ≥ .
                              ⎝6     ⎠  36
Имеем теперь
                                 169 13            97
                        x2 +          + x + x2 ≥ ,
                                  36     3         36
                                       13
                                2x 2 + x + 2 ≥ 0,
                                        3
                                   2
                                6x + 13x + 6 ≥ 0 .                 (2)
                                            2
Сравнивая (1) и (2), заключаем, что 6x + 13x + 6 = 0 .
                                           3         2
Решая это уравнение, находим x1 = − , x 2 = − .
                                           2         3
             ⎧ 2      2  97
             ⎪x + y =       ,
Из условий ⎨             36
             ⎪⎩ y > 0
                              2           3
находим теперь, что y1 = − , y 2 = .
                              3           2
                                                    3 2 2 3
Проверкой убеждаемся, что обе пары чисел: (− , ) , (− , ) - удовлетво-
                                                    2 3 3 2
ряют системе уравнений и неравенств.
               3 2      2 3
   Ответ: ( − , ), ( − , ) .
               2 3      3 2

16

Страницы