Конкурсные задачи по математике (Вступительные экзамены 1998 г.). Ишанов С.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

1
7
4. Обозначим через V м
3
емкость бака; х м
3
/ч, у м
3
/ч – пропускная спо-
собность 1-й и 2-й труб соответственно.
Из условий задачи
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
+
+
=+
.
x
3
y
V
,
x
2
3
4
y
2V
,y
V
1
x
V
Из третьего уравнения
.
3
Vx
y =
Тогда второе примет вид:
).
3
4
3
Vx
(2x)2V( +=+
Отсюда
.
6V
8
3
V
y ,
6V
8
x
+
⋅=
+
=
Подставляя в первое уравнение, получаем
,
8
)6V(3
1
8
)6V(V
+
=+
+
,18V38V6V
2
+=++
,010V3V
2
=−+
.5V ,2V
−
=
=
Условию задачи удовлетворяет лишь V>0.
Ответ: 2 м
3
.
5. Выполнив ряд тождественных преобразований:
=
+⋅−+
+
=
+
+
)xcosxcosxsinx)(sinxcosx(sin
xcosxsin
xcosxsin
xcosxsin
422422
44
66
44
=
−
−
=
⋅−+
⋅−+
=
x2sin
4
3
1
x2sin
2
1
1
xcosxsin3)xcosx(sin
xcosxsin2)xcosx(sin
2
2
22222
22222
   4. Обозначим через V м3 емкость бака; х м3/ч, у м3/ч – пропускная спо-
собность 1-й и 2-й труб соответственно.
Из условий задачи
                                 ⎧
                                 ⎪V        V
                                 ⎪ +1 =
                                 ⎪x        y,
                                 ⎪V + 2 2
                                 ⎨       = ,
                                 ⎪y + 4    x
                                 ⎪    3
                                 ⎪V 3
                                 ⎪ = .
                                 ⎩y x
Из третьего уравнения
                                       Vx
                                   y=      .
                                        3
                                         Vx 4
Тогда второе примет вид: ( V + 2) x = 2(      + ).
                                          3 3
Отсюда
                                8          V     8
                         x=         , y= ⋅            .
                              V+6           3 V+6
Подставляя в первое уравнение, получаем
                          V ( V + 6)      3( V + 6)
                                     +1 =           ,
                               8               8
                           V 2 + 6V + 8 = 3V + 18,
                          V 2 + 3V − 10 = 0,
                            V = 2, V = −5.
Условию задачи удовлетворяет лишь V>0.
   Ответ: 2 м3.


   5. Выполнив ряд тождественных преобразований:
      sin 4 x + cos 4 x                      sin 4 x + cos 4 x
                        =                                                            =
      sin 6 x + cos 6 x (sin 2 x + cos 2 x )(sin 4 x − sin 2 x ⋅ cos 2 x + cos 4 x )
                                                                1
                    2       2    2         2         2     1 − sin 2 2x
                (sin x + cos x ) − 2 sin x ⋅ cos x              2
              =                                         =                   =
                (sin x + cos x ) − 3sin x ⋅ cos x 1 − 3 sin 2 2x
                     2      2    2        2         2

                                                                 4


                                                                                         17

Страницы