Конкурсные задачи по математике (Вступительные экзамены 1998 г.). Ишанов С.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

18
,
x4cos35
)x4cos3(2
)x4cos1(
2
1
4
3
1
)x4cos1(
2
1
2
1
1
+
+
=
−⋅−
−⋅−
=
находим
.
x4cos35
)x4cos3(2
)x(f
+
+
=
Таким образом, первая часть задачи сводится к уравнению
7
10
x4cos35
)x4cos3(2
=
+
+
,
или
7(3+cos4
x)=5(5+3cos4x);
8cos4
x=-4, cos4x =-
2
1
.
4
x= π+
π
± 2
3
2
n, x= .
62
n
π
±
π
Для решения второй части задачи можно ввести переменную x4cos
t
= и
рассмотреть функцию
t
35
)t3(2
)t(F
+
+
=
на отрезке [-1,1]. Поскольку
,
)t 35(
8
)t 35(
)t3(3t35
2)t(F
22
'
+
−=
+
+
−
+
⋅=
0)t(F
'
< при ],1,1[
t
−∈∀ то F(t) убывает и потому
.1
35
)13(2
)1(F)t(MinF
,2
35
)13(2
)1(F)t(MaxF
=
+
+
==
=
−
−
=−=
Ответ :
.1f ,2f ,Zn ),1n3(
6
x
minmax
==∈±
π
=
Вариант 2
1. –6.
2. ).3,2()1,0( ∪
3.
).
3
1
,3( ),3,
3
1
( −−
4. 6 км/ч
5.
.
2
3
f ,
7
15
f ,Zn ),1n3(
3
minmax
==∈±
π
                             1 1
                          1 − ⋅ (1 − cos 4x )
                             2 2                2(3 + cos 4 x )
                        =                     =                 ,
                             3 1                 5 + 3 cos 4 x
                          1 − ⋅ (1 − cos 4x )
                             4 2
находим
                                   2(3 + cos 4x )
                                  f (x) =         .
                                    5 + 3 cos 4x
Таким образом, первая часть задачи сводится к уравнению
                            2(3 + cos 4 x ) 10
                                            = ,
                             5 + 3 cos 4 x     7
или
                        7(3+cos4x)=5(5+3cos4x);
                                                          1
                               8cos4x=-4,       cos4x =- .
                                                          2
                              2π                    πn π
                             4x= ±    + 2 π n, x=       ± .
                                3                     2 6
Для решения второй части задачи можно ввести переменную t = cos 4x и
рассмотреть функцию
                                            2( 3 + t )
                                 F( t ) =
                                             5 + 3t
                                             5 + 3t − 3(3 + t )         8
на отрезке [-1,1]. Поскольку F ' ( t ) = 2 ⋅                    = −              ,
                                                 (5 + 3 t ) 2       (5 + 3 t ) 2
F ' ( t ) < 0 при ∀t ∈ [ −1,1], то F(t) убывает и потому
                                                 2(3 − 1)
                            MaxF( t ) = F( −1) =          = 2,
                                                  5−3
                                               2(3 + 1)
                            MinF( t ) = F(1) =          = 1.
                                                5+3
                   π
     Ответ : x =     (3n ± 1), n ∈ Z, f max = 2, f min = 1.
                   6

                                       Вариант 2
     1. –6.
     2. (0,1) ∪ ( 2,3).
         1              1
     3. ( ,−3), (3,− ).
         3              3
     4. 6 км/ч
         π                      15        3
     5. (3n ± 1), n ∈ Z, f max = , f min = .
         3                       7        2
18

Страницы