Конкурсные задачи по математике (Вступительные экзамены 1998 г.). Ишанов С.А - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

20
или
.4x ,
3
1
x =−=
Ответ:
.4x ,
3
1
x =−=
2. Умножая обе части первого неравенства на -2, получаем:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−≤−+
+
−
≤+−−
.2y5xy10x3
,
1a
)1a(2
y14xy4x2
22
22
Складывая эти неравенства, находим:
1a
4
y9xy6x
22
+
−≤++ ,
или
1
a
4
)y3x(
2
+
−≤+ .
Отсюда
а+1<0, т.е. a <-1.
Итак, для совместности системы неравенств необходимо выполнение
условия
a <-1.
Покажем, что условия
a <-1достаточно чтобы система имела решение.
Заметим, что при
a <-1 правая часть первого неравенства исходной систе-
мы
.1
a
1
2
1
a
1
a1
−<
+
+−=
+
−
Рассмотрим далее систему уравнений:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−+
−=−+
.2y5xy10x3
,1y7xy2x
22
22
(1)
Умножая первое уравнение на –2 и складывая со вторым, получаем
.y3x0)y3x(
2
−=⇒=+
Таким образом, приходим к системе
⎩
⎨
⎧
−=
−=−+
.y3x
,1y7xy2x
22
Отсюда
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=
⇒
⎩
⎨
⎧
−=−−
−=
,
4
1
y
,y3x
.1y7y6y9
,y3x
2
222
или
                                  1
                               x=− ,   x = 4.
                                  3
                 1
     Ответ: x = − ,   x = 4.
                 3

   2. Умножая обе части первого неравенства на -2, получаем:
                     ⎧       2               2    2(a − 1)
                     ⎪− 2x − 4 xy + 14 y ≤                 ,
                     ⎨                              a +1
                     ⎪3x 2 + 10xy − 5y 2 ≤ −2.
                     ⎩
Складывая эти неравенства, находим:
                                                   4
                        x 2 + 6xy + 9 y 2 ≤ −          ,
                                                 a +1
или
                                                4
                              ( x + 3y) 2 ≤ −       .
                                              a +1
Отсюда а+1<0, т.е. a <-1.
   Итак, для совместности системы неравенств необходимо выполнение
условия a <-1.
   Покажем, что условия a <-1достаточно чтобы система имела решение.
Заметим, что при a <-1 правая часть первого неравенства исходной систе-
мы
                           1− a             2
                                   = −1 +       < −1.
                           1+ a           1+ a
Рассмотрим далее систему уравнений:
                         ⎧⎪x 2 + 2xy − 7 y 2 = −1,
                          ⎨ 2                                       (1)
                          ⎪⎩3x + 10xy − 5y 2 = −2.
Умножая первое уравнение на –2 и складывая со вторым, получаем
                        ( x + 3y) 2 = 0 ⇒ x = −3y.
Таким образом, приходим к системе
                            ⎧x 2 + 2xy − 7 y 2 = −1,
                            ⎨
                            ⎩x = −3y.
Отсюда
                   ⎧x = −3y,                       ⎧x = −3y,
                                                   ⎪
                   ⎨ 2          2      2
                                                ⇒⎨ 2 1
                   ⎩9 y − 6y − 7 y = −1. ⎪⎩ y = 4 ,


20

Страницы